Để giải bài toán trong tam giác nhọn ABC và các đường cao BE, CF cắt nhau tại H, ta sẽ lần lượt giải từng yêu cầu:

### a) Chứng minh \( AE \cdot AC = AF \cdot AB \)

- Ta có tam giác vuông \( ABE \) và tam giác vuông \( ACF \).
- Theo định lý tâm giác vuông, ta có:
\[
\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}
\]
- Nhân chéo, ta có:
\[
AE \cdot AC = AF \cdot AB
\]

### b) Qua B kẻ đường thẳng song song với CF cắt tại H, chứng minh \( AD \cdot BD = CD \cdot AH \)

- Từ định lý hình thang, ta có:
\[
AD \cdot BD = CD \cdot AH
\]

### c) Cho \( \angle ABC = 45^\circ \) và kẻ AK vuông góc với EF tại K. Tính tỉ số \( \frac{S_{ABC}}{S_{AFK}} \)

- Sử dụng công thức tính diện tích:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle ABC)
\]
- Với \( \angle ABC = 45^\circ \):
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
- Diện tích tam giác \( S_{AFK} \) sẽ có tỉ số với \( S_{ABC} \) tương ứng với độ dài các cạnh và góc.

### d) Tính diện tích tam giác CDK

- Dựa vào các chiều cao và đáy, sử dụng công thức diện tích tam giác:
\[
S_{CDK} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot DK \cdot \sin(\angle CDK)
\]

Đây là những hướng dẫn cơ bản để giải các bài toán liên quan đến tam giác và các tính chất của nó. Nếu có câu hỏi cụ thể hơn, bạn có thể bổ sung thêm thông tin!