Cho các biểu thức:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt tính các biểu thức A, B và C, và sau đó xem xét tính chia hết của A và B.

### a) Tính A, B, C

1. **Tính A:**
\[
A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{100}
\]
Đây là một chuỗi số hình học với:
- Số hạng đầu \( a = 2 \)
- Công bội \( r = 2 \)
- Số hạng cuối là \( 2^{100} \) (tương ứng với tổng cộng 99 hạng số)

Công thức tổng của chuỗi số hình học là:
\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]
Trong trường hợp này:
\[
S = 2 \frac{2^{100} - 1}{2 - 1} = 2(2^{100} - 1) = 2^{101} - 2
\]
Vậy:
\[
A = 2^{101} - 2
\]

2. **Tính B:**
\[
B = 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^{96}
\]
Đây cũng là một chuỗi số hình học:
- Số hạng đầu \( a = 5 \)
- Công bội \( r = 5 \)
- Số hạng cuối \( 5^{96} \) (tương ứng với tổng cộng 96 hạng số)

Áp dụng công thức tổng số hạng:
\[
S = 5 \frac{5^{96} - 1}{5 - 1} = \frac{5 (5^{96} - 1)}{4}
\]
Vậy:
\[
B = \frac{5^{97} - 5}{4}
\]

3. **Tính C:**
\[
C = 2^{100} - 2^{99} + 2^{98} - 2^{97} + ... + 2^2 - 2
\]
Ta có thể nhóm các hạng tử lại:
\[
C = (2^{100} - 2^{99}) + (2^{98} - 2^{97}) + ... + (2^2 - 2)
\]
Từng nhóm sẽ có dạng:
\[
2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}(2-1) = 2^{n-1}
\]
Tổng lại sẽ cho:
\[
C = 2^{99} + 2^{97} + ... + 2^1 = 2(2^{98} + 2^{96} + ... + 1)
\]
Đây là một chuỗi số hình học với:
- Số hạng đầu: 1
- Công bội: 2
- Số hạng cuối: \( 2^{98} \) (tổng cộng 99 hạng)

Tổng:
\[
C = 2(2^{99} - 1)
\]

### b) Chứng tỏ rằng A chia hết cho 3, 6, 30

- **Chia hết cho 3:**
\[
A = 2^{101} - 2
\]
Xét \( A \mod 3 \):
- \( 2^{101} \mod 3 = 2 \) (vì \( 2^1 \equiv 2 \mod 3\))
- Vậy:
\[
A \mod 3 = 2 - 2 = 0
\]
=> A chia hết cho 3.

- **Chia hết cho 6:**
Với A chia hết cho 3 rồi, giờ kiểm tra chia hết cho 2:
- A là \( 2^{101} - 2 \) nên rõ ràng chia hết cho 2.
=> A chia hết cho 6 (vì 6 = 2 × 3).

- **Chia hết cho 30:**
30 = 2 × 3 × 5. Chúng ta đã chứng minh A chia hết cho 6 và bây giờ kiểm tra với 5.
- \( 2^{101} \mod 5 \): Ta sử dụng chu kỳ của số mũ với 5.
\( 2^4 \equiv 1 \mod 5 \). \( 101 \mod 4 = 1\).
- \( 2^{101} \mod 5 = 2 \) =>
\[
A \mod 5 = 2 - 2 \equiv 0 \mod 5
\]
=> A chia hết cho 30.

### c) Chứng tỏ rằng B chia hết cho 6

- **Chia hết cho 2:**
\( B = \frac{5^{97} - 5}{4} \), số hạng \( 5^{97} - 5 \) là số chẵn => B chia hết cho 2.

- **Chia hết cho 3:**
Ta xét \( 5^{n} \mod 3 \):
- \( 5 \equiv 2 \mod 3 \) =>
\( 5^{n} \equiv 2^{n} \mod 3 \).
- \( 2^{n} \mod 3 \) có chu kỳ (1, 2), cụ thể:
- \( 5^{97} \equiv 2^{97} \equiv 2 \). Vậy:
\[
5^{97} - 5 \equiv 2 - 2 = 0 \mod 3
\]
=> B chia hết cho 3.

- Vậy B chia hết cho 6 (vì 6 = 2 × 3).

Kết luận: A chia hết cho 3, 6, 30; B chia hết cho 6.