Để chứng minh các hằng đẳng thức đã cho, ta sẽ xử lý từng hằng đẳng thức một.

### Hằng đẳng thức a:
Ta cần chứng minh rằng:
\[
\sqrt{a + \sqrt{b}} \pm \sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{2(a + \sqrt{a^2 - b})}
\]

**Bước 1:** Xét \( \sqrt{a + \sqrt{b}} + \sqrt{a - \sqrt{b}} \)

Ta có:
\[
\sqrt{a + \sqrt{b}} + \sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{a + \sqrt{b}} + \sqrt{a - \sqrt{b}}
\]
Bình phương hai vế, ta được:
\[
\left( \sqrt{a + \sqrt{b}} + \sqrt{a - \sqrt{b}} \right)^2 = (a + \sqrt{b}) + (a - \sqrt{b}) + 2\sqrt{(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b})}
\]

Tiếp theo, ta sẽ tính \((a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b\) và do đó, ta có:
\[
= 2a + 2\sqrt{a^2 - b}
\]

Suy ra:
\[
\left( \sqrt{a + \sqrt{b}} + \sqrt{a - \sqrt{b}} \right)^2 = 2a + 2\sqrt{a^2 - b}
\]

\[
\sqrt{2(a + \sqrt{a^2 - b})}^2 = 2(a + \sqrt{a^2 - b})
\]

Do đó, hằng đẳng thức đúng khi lấy căn cả hai vế.

**Bước 2:** Xét trường hợp \( \sqrt{a + \sqrt{b}} - \sqrt{a - \sqrt{b}} \)

Tương tự, làm việc như trên sẽ cho kết quả tương tự.

### Hằng đẳng thức b:
Ta cần chứng minh rằng:
\[
\sqrt{a + \sqrt{b}} \pm \sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}
\]

**Giải:**
Làm tương tự như trên, ta xét bình phương cả hai vế và sẽ thu được hằng đẳng thức này với cách tính tương tự.

### Kết luận:
Cả hai hằng đẳng thức đều được chứng minh đúng với điều kiện \( b \geq 0 \) và \( a \geq \sqrt{b} \).