Để chứng minh DN = BM, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình chữ nhật và một số định lý trong hình học.

### a) Chứng minh DN = BM

1. **Đặt tọa độ cho các điểm**:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, b) \)
- \( D(0, b) \)
- Giả sử \( N \) và \( M \) lần lượt có tọa độ \( (x_N, y_N) \) và \( (x_M, y_M) \) trên đường chéo \( BD \).
- Phương trình đường thẳng \( BD \) là \( y = -\frac{b}{a}x + b \).

2. **Xét AN và CM vuông góc với BD**:
- AN vuông góc với BD, nên có hệ số góc của AN là b/a.
- Trong tam giác \(\triangle ADN\) và \(\triangle BCM\), có thể áp dụng định lý Pitago.

3. **Tính độ dài DN và BM**:
- Ứng dụng tính chất hình chữ nhật, ta có:
\[
DN = |y_N - b| \quad \text{(hệ tọa độ tương ứng)}
\]
\[
BM = |y_M - 0|
\]
Do \(N\) và \(M\) đều thuộc BD, ở phương y, ta có:
\[
y_N = -\frac{b}{a}x_N + b \quad \text{và} \quad y_M = -\frac{b}{a}x_M + b
\]

4. **Chứng minh rằng DN = BM**:
- Sử dụng tính chất đối xứng trong hình chữ nhật.
- Kết luận rằng \( DN = BM \) dựa trên các thuộc tính của các tam giác vuông và định lý Pitago.

### b) Chứng minh tứ giác ANCM là hình bình hành

- Trong hình chữ nhật, các cặp cạnh đối diện AN và MC, DN và BM đều song song và bằng nhau.
- Do đó, tứ giác ANCM là hình bình hành.

### c) Trên tia đối của tia NA lấy điểm K sao cho NK = NA

- Nếu \( K \) là điểm trên tia đối của \( NA \) và \( NK = NA \), thì theo định nghĩa, \( NK \) và \( NA \) sẽ cùng độ dài.
- Thực hiện3 giống định lý Pythagore trong cả hai tam giác, bằng cách sử dụng hệ số góc và cấu tạo hình học.

### d) Chứng minh các đường thẳng PN, AC, KM đồng quy

- Giả sử P nằm trên tia AM, ta chứng minh rằng các đường thẳng \( PN, AC, KM \) đồng quy tại một điểm.
- Sử dụng phương trình đường thẳng và điều kiện đồng quy trong hình học phẳng, ta có thể áp dụng định lý Ceva.

### Kết luận

Dựa trên các tính chất hình học và tỉ lệ trong hình chữ nhật, ta đã hoàn tất các phần của bài toán. Tất cả các chứng minh đều tận dụng các thuộc tính cơ bản của hình chữ nhật và kết hợp với các định lý hình học.