Bài 6 yêu cầu chứng minh hai điều liên quan đến hình thoi ABCD và các điểm M, N, P, Q trên các cạnh của nó. Chúng ta sẽ giải quyết từng phần.

### a) Chứng minh \( M, O, P \) thẳng hàng và \( N, O, Q \) thẳng hàng.

1. **Xác định vị trí các điểm:**
- Gọi \( AM = CN = CP = AQ = k \).
- Do \( ABCD \) là hình thoi nên \( O \) là trung điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \).

2. **Sử dụng tính đối xứng:**
- Vì \( O \) là trung điểm, nên \( AO = OC \) và \( BO = OD \).
- Do đó, \( M \) và \( P \) sẽ nằm trên đường thẳng \( AB \) và \( CD \) tương ứng, đồng thời vì \( AM = k \) và \( CP = k \), ta có \( OM = OA - AM \) và \( OP = OC - CP \).

3. **Chứng minh thẳng hàng:**
- Từ đó, khi vẽ, ta thấy rằng điểm \( O \) nằm trên đoạn thẳng \( MP \) do chiều dài của \( AO \) và \( OC \) không thay đổi, mà \( M \) và \( P \) nằm ở cùng một khoảng cách từ \( O \) trên các cạnh song song.
- Tương tự, với \( N \) và \( Q \), ta có thể chứng minh rằng \( N, O, Q \) cũng thẳng hàng với cùng một lý do.

### b) Chứng minh tứ giác \( MNPQ \) là hình chữ nhật.

1. **Tính chất của hình thoi:**
- Trong hình thoi, các cặp cạnh đối diện vừa song song vừa bằng nhau. Do đó, \( AB \parallel CD \) và \( BC \parallel DA \).

2. **Chỉ ra tính vuông góc:**
- Các cạnh \( MN \) và \( PQ \) song song với \( AB \) và \( CD \) sẽ vuông góc với các cạnh \( NP \) và \( MQ \) (có cùng một chiều dài và tính chất vuông góc với đường chéo khi kéo dài).
- Điều này có nghĩa là các góc tại các điểm \( M, N, P, Q \) đều là \( 90^\circ \).

3. **Kết luận:**
- Với chiều dài các cạnh \( MN \) và \( PQ \) bằng nhau, cũng như tính song song và vuông góc, ta khẳng định rằng tứ giác \( MNPQ \) là hình chữ nhật.

Tóm lại, có thể kết luận được hai yêu cầu của bài toán như sau:
- \( M, O, P \) và \( N, O, Q \) thẳng hàng.
- Tứ giác \( MNPQ \) là hình chữ nhật.