Các tia phân giác ∠A, ∠B của tứ giác ABCD cắt nhau tại K

Để chứng minh rằng \( \angle AKB = \frac{1}{2} (\angle C + \angle D) \), ta sẽ sử dụng một vài tính chất của phân giác và tứ giác.

Giả sử rằng \( \angle A \) và \( \angle B \) là các góc của tứ giác \( ABCD \) như sau:

1. **Xác định các góc phụ**:
- Gọi \( \angle A = \alpha \), \( \angle B = \beta \), \( \angle C = \gamma \), và \( \angle D = \delta \).

2. **Sử dụng định lý về tia phân giác**:
- Tia phân giác \( AK \) chia góc \( \angle A \) thành hai phần bằng nhau, tức là \( \angle KAB = \frac{1}{2} \alpha \) và \( \angle KAD = \frac{1}{2} \alpha \).
- Tia phân giác \( BK \) cũng tương tự, chia góc \( \angle B \) thành hai phần bằng nhau: \( \angle KBA = \frac{1}{2} \beta \) và \( \angle KBC = \frac{1}{2} \beta \).

3. **Tính toán góc \( \angle AKB \)**:
- Góc \( \angle AKB \) có thể được tính bằng:
\[
\angle AKB = 180^\circ - \angle KAB - \angle KBA
\]
từ đó thay thế giá trị của các góc phân giác:
\[
\angle AKB = 180^\circ - \frac{1}{2} \alpha - \frac{1}{2} \beta
\]

4. **Sử dụng quy tắc tính tổng các góc của tứ giác**:
- Ta có công thức tổng góc của tứ giác:
\[
\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ
\]
Suy ra:
\[
\gamma + \delta = 360^\circ - (\alpha + \beta)
\]

5. **Tính toán lại \( \angle AKB \)**:
- Kết hợp các công thức trên, ta thay vào tổng của \( \gamma \) và \( \delta \):
\[
\angle AKB = 180^\circ - \frac{1}{2} \alpha - \frac{1}{2} \beta = 180^\circ - \frac{1}{2} (\alpha + \beta)
\]
Thay cho \( \gamma + \delta \) từ bước trước:
\[
\angle AKB = \frac{1}{2} (\gamma + \delta)
\]
Thay giá trị này vào, ta có:
\[
\angle AKB = \frac{1}{2} (\gamma + \delta) = \frac{1}{2} (\angle C + \angle D)
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
\angle AKB = \frac{1}{2} (\angle C + \angle D)
\]

Kết luận: Đúng như yêu cầu đã nêu, ta có \( \angle AKB = \frac{1}{2} (\angle C + \angle D) \).