Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu như sau:

### a) So sánh \(2\sqrt{3} + \sqrt{27}\) và \(\sqrt{74}\)

1. **Tính giá trị của \(2\sqrt{3} + \sqrt{27}\):**
- Ta có \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\).
- Vậy \(2\sqrt{3} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\).

2. **Tính giá trị của \(\sqrt{74}\):**
- Ta để nguyên \(\sqrt{74}\) vì không cần tính chính xác.

3. **So sánh hai biểu thức:**
- Để so sánh \(5\sqrt{3}\) và \(\sqrt{74}\), ta tính:
\[
5\sqrt{3} \quad \text{và} \quad \sqrt{74}
\]
- Bình phương cả hai để dễ so sánh:
\[
(5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75
\]
\[
(\sqrt{74})^2 = 74
\]
- Do đó, \(75 > 74\) suy ra \(5\sqrt{3} > \sqrt{74}\).

### b) Chứng minh đẳng thức

Ta cần chứng minh
\[
\left( \frac{1}{\sqrt{x-2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x+2}} \right) \cdot \frac{x-4}{4} = 1 \quad (với \, x \geq 0; \, x \neq 4)
\]

1. **Sắp xếp lại phương trình:**
- Bắt đầu với
\[
\frac{1}{\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x+2}} \cdot \frac{x-4}{4} = 1
\]
- Nhân hai vế với \(4\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x+2}\):
\[
x - 4 = 4\sqrt{x-2}\sqrt{x+2}
\]

2. **Bình phương cả hai vế:**
- Ta có:
\[
(x - 4)^2 = 16(x - 2)(x + 2)
\]
- Khai triển:
\[
x^2 - 8x + 16 = 16(x^2 - 4) = 16x^2 - 64
\]
- Đưa tất cả vào một vế:
\[
x^2 - 8x + 80 = 15x^2
\]

3. **Giải phương trình:**
- Giải phương trình này (có thể sử dụng yếu tố bậc 2 hoặc các cách khác), từ đó kiểm tra điều kiện \(x \geq 0; x \neq 4\) để có giá trị đúng.

Bằng cách này, ta đã cân nhắc và chứng minh từng phần của bài toán.