Để chứng minh tứ giác \( ABDC \) là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối bằng nhau, hoặc một cặp cạnh và hai góc đối bằng nhau.

### Bài a)

- **Kích thước và các điểm**: Từ điều kiện đã cho:
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), suy ra \( MB = MC \).
- \( D \) là điểm trên tia đối của tia \( MA \) sao cho \( MA = MD \).

- **Chứng minh**:
- Ta có \( MB = MC \) và \( MA = MD \).
- Xét tam giác \( MAB \) và \( MDC \):
- \( MA = MD \) (theo giả thiết),
- \( MB = MC \) (vì là trung điểm),
- Góc \( AMB = CMD \) (góc đối đỉnh).
- Suy ra \( \triangle MAB \cong \triangle MDC \) (phương pháp cạnh-cạnh-cạnh).
- Do đó \( AB = DC \) và \( AD = BC \).

- Kết luận: \( ABDC \) là hình bình hành.

### Bài b)

- **Giả định**: Kéo \( AH \) vuông góc với \( BC \) và lấy \( E \) trên tia đối của \( HA \) sao cho \( EH = HA \).

- **Chứng minh**:
- Xét tam giác \( AHE \): Ta có \( AH \perp BC \), suy ra \( \angle AHB = 90^\circ \).
- Từ điều kiện \( EH = HA \), ta thấy \( AE = AH + HE = AH + AH = 2AH \).
- Xét tam giác \( ABH \) và \( DEH \):
- \( AB = DE \) (do \( ABDC \) là hình bình hành, trong đó \( AB = DC \)),
- \( AH = EH \) (theo giả thiết),
- Các góc \( \angle AHB = \angle DHE = 90^\circ\).
- Suy ra \( EC = BD \) (căn cứ vào tính chất hình bình hành và hình thang).

### Bài c)

#### Tứ giác \( BCDE \) là hình gì?

Từ các đô thị đã chứng minh và các cặp cạnh đối bằng nhau, ta thấy rằng \( BC \parallel DE \) và \( BD = EC \). Do đó \( BCDE \) là hình thang.

### Kết luận:

- \( ABDC \) là hình bình hành.
- \( BCDE \) là hình thang.