Để giải quyết bài toán với tam giác ABC vuông tại A, trước tiên chúng ta cần làm rõ một số ký hiệu và mối quan hệ giữa các cạnh và góc của tam giác.

Giả sử:
- \( AB = c \) (cạnh kề với góc ABC)
- \( AC = b \) (cạnh đối với góc ABC)
- \( BC = a \) (cạnh huyền)

Vì tam giác ABC vuông tại A, chúng ta có:

\[
a^2 = b^2 + c^2
\]

### Các đoạn thẳng quan trọng:

1. \( AH \) là đoạn vuông góc từ A đến đường thẳng BC. Đây chính là chiều cao từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC.
2. \( HD \) là đoạn vuông góc từ H đến AB.
3. \( HE \) là đoạn vuông góc từ H đến AC.

### Các góc và các mối quan hệ:
- Gọi góc ABC là \( a \).
- Từ tam giác vuông ABC, ta có:
\[
\sin a = \frac{b}{a} \quad \text{và} \quad \cos a = \frac{c}{a}
\]

- Chiều cao \( AH \) từ \( A \) đến \( BC \) được tính bằng:
\[
AH = b \cdot \sin a
\]

### Mối quan hệ chiều dài và các góc:
- \( HC = BC \sin^2 B \)
- \( BH = \tan^2 B \)

Như chúng ta đã xác định, có thể sử dụng các công thức lượng giác cho các góc trong tam giác vuông để tính toán các đoạn thẳng khác nhau.

### Tính toán cụ thể:
Sử dụng định nghĩa của sin, cos và tan trong tam giác vuông, chúng ta có thể tìm ra các đoạn thẳng mong muốn. Cụ thể:

\[
BH = AH \cdot \tan B
\]
với \( B = \angle ABC \).

### Kết luận:
Các mối quan hệ này cho phép bạn giải quyết nhiều bài toán khác nhau liên quan đến chiều cao, các đoạn thẳng vuông góc trong tam giác vuông ABC. Nếu bạn cần tính toán cụ thể hơn hoặc biểu thức khác liên quan đến chiều cao và góc, hãy đưa ra thông tin chi tiết hơn!