Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các biểu thức A, B, và C, ta sẽ lần lượt xem xét từng biểu thức:

### a) \( A = y^2 - 6x + 12 \)
Để tìm GTNN của A, ta cần phân tích:
- Biểu thức này có dạng parabol theo \(y\), với bậc 2. GTNN của hàm số này đạt được khi đạo hàm theo \(y\) bằng 0.

Xét \( A \) là hàm bậc 2 theo \(y\):
- Đạo hàm: \( \frac{\partial A}{\partial y} = 2y - 6 = 0 \) \(\Rightarrow y = 3\)

Thay \(y = 3\) vào biểu thức:
\[
A = 3^2 - 6x + 12 = 9 - 6x + 12 = 21 - 6x
\]

Để tìm GTNN, ta cần \(21 - 6x\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị này nhỏ nhất khi \(x\) lớn nhất.

### b) \( B = x^2 + 8x - 2024 \)
Biểu thức này cũng có dạng parabol. GTNN đạt được khi đạo hàm bằng 0.
- Đạo hàm: \( \frac{\partial B}{\partial x} = 2x + 8 = 0 \) \(\Rightarrow x = -4\)

Thay vào biểu thức:
\[
B = (-4)^2 + 8(-4) - 2024 = 16 - 32 - 2024 = -2040
\]

### c) \( C = x^2 + y^2 + 2x - 4y + 9 \)
Tương tự, xét theo \(x\) và \(y\):
- Đạo hàm theo \(x\): \( \frac{\partial C}{\partial x} = 2x + 2 = 0 \) \(\Rightarrow x = -1\)
- Đạo hàm theo \(y\): \( \frac{\partial C}{\partial y} = 2y - 4 = 0 \) \(\Rightarrow y = 2\)

Thay vào biểu thức:
\[
C = (-1)^2 + 2^2 + 2(-1) - 4(2) + 9 = 1 + 4 - 2 - 8 + 9 = 4
\]

### Kết quả:
- GTNN của \(A\) phụ thuộc vào giá trị của \(x\).
- GTNN của \(B\) là \(-2040\) tại \(x = -4\).
- GTNN của \(C\) là \(4\) tại \(x = -1\) và \(y = 2\).