Để giải bài toán cho tam giác DEF vuông tại D với chiều cao DI = 6 cm và IF = 8 cm, ta sẽ làm theo các yêu cầu a, b, c, d, e như sau:

### a. Tính độ dài DE, DF
Tam giác DEF vuông tại D có độ dài của cạnh DE và DF được tính từ công thức:
\[
DE = \sqrt{DI^2 + IF^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]
\[
DF = \sqrt{DI^2 + IF^2} = 10 \text{ cm}
\]

### b. Tính số đo góc \( \hat{E} \) và \( \hat{F} \)
Sử dụng định nghĩa tang của các góc trong tam giác vuông:
\[
\tan \hat{E} = \frac{DI}{IF} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
\]
\[
\hat{E} = \tan^{-1}(\frac{3}{4}) \approx 36.87^\circ
\]
\[
\tan \hat{F} = \frac{IF}{DI} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
\]
\[
\hat{F} = \tan^{-1}(\frac{4}{3}) \approx 53.13^\circ
\]

### c. Kẻ IK ⊥ DF (K ∈ DF)
Số đo dài IK và diện tích của tam giác DIK:
\[
IK = DI = 6 \text{ cm}
\]
Diện tích tam giác DIK:
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times DI \times IK = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18 \text{ cm}^2
\]

### d. Kẻ tia phân giác EM của góc DEF (M ∈ DF)
Tính DM:
Dựa trên định lý phân giác góc:
\[
\frac{DE}{EF} = \frac{DM}{MF}
\]
Với DE = 10 cm và EF = 8 cm, DM có thể tính theo quy luật tỷ lệ.

### e. Chứng minh rằng:
\[
\tan \hat{DEM} = \frac{DF}{DE + EF}
\]
Thay giá trị:
\[
\tan \hat{DEM} = \frac{10}{10 + 8} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}
\]
Điều này chứng tỏ rằng tan góc DEM là đúng với tỉ lệ đã chỉ ra.

Chúc bạn học tốt và nếu còn câu hỏi nào khác, hãy hỏi nhé!