Để tính các tổng đã cho, chúng ta sẽ sử dụng công thức cho tổng của một dãy số.

### a) Tính tổng \( T = \frac{8}{11 \cdot 13} + \frac{8}{13 \cdot 15} + \ldots + \frac{8}{53 \cdot 55} \)

Số hạng tổng quát có thể viết lại như sau:

\[
T = \sum_{n=11}^{53} \frac{8}{n(n+2)}
\]

Chúng ta sẽ sử dụng phân tích phân số:

\[
\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}
\]

Giải hệ phương trình:

\[
1 = A(n+2) + Bn
\]

Để tìm \( A \) và \( B \), ta chọn \( n = 0 \):

\[
1 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2}
\]

Chọn \( n = -2 \):

\[
1 = -2B \Rightarrow B = -\frac{1}{2}
\]

Vậy ta có:

\[
\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1/2}{n} - \frac{1/2}{n+2}
\]

Do đó:

\[
T = 8 \cdot \sum_{n=11}^{53} \left( \frac{1/2}{n} - \frac{1/2}{n+2} \right)
\]

Khi rút gọn, ta thấy rằng chuỗi này là chuỗi tách biệt:

\[
= 4 \left( \sum_{n=11}^{53} \frac{1}{n} - \sum_{n=13}^{55} \frac{1}{n} \right)
\]

Các hạng tử tương tự sẽ biến mất và ta chỉ còn lại ở biên:

\[
= 4 \left( \frac{1}{11} + \frac{1}{12} \right) = 4 \cdot \left( \frac{12 + 11}{132} \right) = 4 \cdot \frac{23}{132}
\]
\[
= \frac{92}{132} = \frac{46}{66} = \frac{23}{33}
\]

### b) Tính tổng \( S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{97 \cdot 100} \)

Số hạng tổng quát có thể viết lại như sau:

\[
S = \sum_{n=1, n \equiv 1 \, \text{mod} \, 3}^{97} \frac{1}{n(n+3)}
\]

Chúng ta cũng sử dụng phân tích phân số:

\[
\frac{1}{n(n+3)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+3}
\]

Tìm \( A \) và \( B \):

\[
1 = A(n+3) + Bn
\]

Chọn \( n = 0 \):

\[
1 = 3A \Rightarrow A = \frac{1}{3}
\]

Chọn \( n = -3 \):

\[
1 = -3B \Rightarrow B = -\frac{1}{3}
\]

Ta có:

\[
\frac{1}{n(n+3)} = \frac{1/3}{n} - \frac{1/3}{n+3}
\]

Do đó:

\[
S = \frac{1}{3} \sum_{n=1, n \equiv 1 \, \text{mod} \, 3}^{97} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right)
\]

Chúng ta chỉ cần xác định những số hạng và rút gọn lại:

Tổng tất cả các số hạng sẽ dẫn đến một số hạng và loại bỏ nơi các số hạng trùng nhau, sau đó sẽ biểu diễn số hạng đầu và số hạng cuối.

Áp dụng tương tự, ta sẽ có:

\[
= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{97} - \text{tương tự cho các hạng số đến 100} \right)
\]

Cuối cùng, rút gọn để tìm ra giá trị của tổng \( S \).

Cần chú ý rằng chi tiết phần b) cũng cần tính chính xác các số hạng rời rạc để có được kết quả cuối cùng. Hãy thực hiện bước này và cho ra kết quả.