Để tính \( A = x^3 + \frac{8}{x^3} \) với điều kiện \( x^2 + \frac{4}{x^2} = 21 \), ta có thể thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Tính \( x + \frac{4}{x} \).
Giả sử \( y = x + \frac{4}{x} \). Ta sẽ sử dụng công thức bình phương để tính \( y^2 \):

\[
y^2 = \left( x + \frac{4}{x} \right)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot\frac{4}{x} + \frac{16}{x^2} = x^2 + 8 + \frac{16}{x^2}
\]

Từ đó, ta có:

\[
y^2 - 8 = x^2 + \frac{16}{x^2}
\]

Chúng ta biết rằng:

\[
x^2 + \frac{4}{x^2} = 21 \Rightarrow \frac{16}{x^2} = 21 - x^2
\]

Từ đây, thay vào biểu thức ta có:

\[
y^2 - 8 = 21 - x^2 + 8
\]

Bây giờ, để tính \( x^2 + \frac{4}{x^2} = 21 \) vào biểu thức, ta làm theo bước tiếp theo.

Bước 2: Tính \( x^3 + \frac{8}{x^3} \).
Sử dụng công thức:

\[
x^3 + \frac{8}{x^3} = (x + \frac{4}{x})\left(x^2 - x\cdot\frac{4}{x} + \frac{16}{x^2}\right) = (x + \frac{4}{x})\left(21 - 8\right) = (x + \frac{4}{x}) \cdot 13
\]

Bước 3: Tính \( y \).
Chúng ta hiện tại đã có:

\[
x^2 + \frac{4}{x^2} = 21 \Rightarrow y^2 = 21 + 8 = 29
\]

Vì vậy, \( y = \sqrt{29} \).

Bước 4: Cuối cùng, tính \( A \):

\[
A = y \cdot 13 = \sqrt{29} \cdot 13
\]

Tổng kết:
\[
A = 13\sqrt{29}
\]

Như vậy, giá trị của \( A = x^3 + \frac{8}{x^3} \) là \( 13\sqrt{29} \).