Ta có phương trình:

\[
x^2 - xy = 2y^2
\]

Chuyển vế, ta được:

\[
x^2 - xy - 2y^2 = 0
\]

Đây là một phương trình bậc hai về \(x\). Sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó \(a = 1\), \(b = -y\), \(c = -2y^2\), ta tính được:

\[
b^2 - 4ac = (-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2y^2) = y^2 + 8y^2 = 9y^2
\]
\[
\sqrt{b^2 - 4ac} = \sqrt{9y^2} = 3|y|
\]

Thay vào công thức nghiệm:

\[
x = \frac{y \pm 3|y|}{2}
\]

Chia thành hai trường hợp cho \(y\):

1. Khi \(y > 0\): \( |y| = y \)

\[
x = \frac{y + 3y}{2} = 2y \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{y - 3y}{2} = -y
\]

2. Khi \(y < 0\): \( |y| = -y \)

\[
x = \frac{y - 3y}{2} = -y \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{y + 3y}{2} = 2y
\]

Tóm lại, chúng ta có hai bộ nghiệm:

- \(x = 2y\)
- \(x = -y\)

Bây giờ ta sẽ tính giá trị của biểu thức:

\[
\frac{3x - y}{x + y}
\]

**Trường hợp 1**: \( x = 2y \)

\[
\frac{3(2y) - y}{2y + y} = \frac{6y - y}{3y} = \frac{5y}{3y} = \frac{5}{3}
\]

**Trường hợp 2**: \( x = -y \)

\[
\frac{3(-y) - y}{-y + y} = \frac{-3y - y}{0}
\]

Biểu thức không xác định trong trường hợp này.

Kết luận, với điều kiện \(y(x+y) \neq 0\), ta có:

\[
\frac{3x - y}{x + y} = \frac{5}{3} \quad \text{(với } x = 2y\text{)}
\]

Vậy giá trị cuối cùng là:

\[
\boxed{\frac{5}{3}}
\]