Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp giải phương trình đồng dư.

Chúng ta có các điều kiện sau:

1. \( x \equiv 1 \mod 2 \)
2. \( x \equiv 1 \mod 9 \)
3. \( x \equiv 4 \mod 5 \)
4. \( x \equiv 6 \mod 7 \)

Trước tiên, chúng ta có thể kết hợp hai điều kiện đầu tiên:

- \( x \equiv 1 \mod 2 \) và \( x \equiv 1 \mod 9 \) có thể được diễn đạt thành \( x \equiv 1 \mod 18 \) (vì 18 là bội chung nhỏ nhất của 2 và 9).

Vậy, ta có:

1. \( x \equiv 1 \mod 18 \)
2. \( x \equiv 4 \mod 5 \)
3. \( x \equiv 6 \mod 7 \)

Tiếp theo, chúng ta giải từ từ các điều kiện.

Bắt đầu với \( x = 18k + 1 \) (với \( k \) là một số nguyên), thay vào điều kiện thứ hai \( x \equiv 4 \mod 5 \):

\[
18k + 1 \equiv 4 \mod 5
\]
\[
3k + 1 \equiv 4 \mod 5 \implies 3k \equiv 3 \mod 5 \implies k \equiv 1 \mod 5
\]

Nên \( k = 5m + 1 \) (với \( m \) là một số nguyên).

Thay vào \( x \):

\[
x = 18(5m + 1) + 1 = 90m + 19
\]

Giờ ta thay vào điều kiện thứ ba \( x \equiv 6 \mod 7 \):

\[
90m + 19 \equiv 6 \mod 7
\]

Tính \( 90 \mod 7 \) và \( 19 \mod 7 \):

\[
90 \equiv 5 \mod 7 \quad \text{và} \quad 19 \equiv 5 \mod 7
\]
Vậy,

\[
5m + 5 \equiv 6 \mod 7 \implies 5m \equiv 1 \mod 7
\]

Giải phương trình này, ta tìm được nghịch đảo của 5 mod 7. 5 và 7 là coprime. Tính toán, ta có:

\[
5 \cdot 3 = 15 \equiv 1 \mod 7
\]

Vậy \( m \equiv 3 \mod 7 \). Do đó,

\[
m = 7n + 3 \quad (n \text{ là số nguyên})
\]

Thay lại vào biểu thức của \( x \):

\[
x = 90(7n + 3) + 19 = 630n + 270 + 19 = 630n + 289
\]

Chọn \( n = 0 \) để tìm số nhỏ nhất:

\[
x = 289
\]

Cuối cùng, số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn tất cả các điều kiện là:

\[
\boxed{289}
\]