Để rút gọn biểu thức \( M \), ta bắt đầu với việc phân tích từng phần của biểu thức:

1. **Phần đầu tiên**:
\[
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \cdot \frac{1}{x - \sqrt{x}}
\]

Ta có thể viết lại \( x - \sqrt{x} \) là \( (\sqrt{x})^2 - \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) \). Do đó, phần đầu tiên trở thành:
\[
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} = \frac{1}{(\sqrt{x} - 1)^2}
\]

2. **Phần thứ hai**:
\[
\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1} + \frac{2}{x-1}\right)
\]
Ta tìm mẫu chung cho hai phân thức:
\[
= \frac{(x - 1) + 2(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(x - 1)} = \frac{x - 1 + 2\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 1)(x - 1)} = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} + 1)(x - 1)}
\]

Để rút gọn biểu thức \( M \):
\[
M = \frac{1}{(\sqrt{x} - 1)^2} \cdot \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} + 1)(x - 1)}
\]

Biểu thức \( x + 2\sqrt{x} + 1 \) có thể viết lại là \( (\sqrt{x} + 1)^2 \):
\[
= \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{(\sqrt{x} - 1)^2(\sqrt{x} + 1)(x - 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)^2 (x - 1)}
\]

Cuối cùng, ta có:
\[
M = \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)^2 (x - 1)}
\]

Vậy kết quả rút gọn của \( M \) là:
\[
M = \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)^2 (x - 1)}
\]