Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định vị trí các điểm:**
- Đặt O là tâm đường tròn.
- A và B lần lượt là hai điểm trên đường tròn, với AB = 2R. Do đó, OA = OB = R.
- C là điểm trên đường tròn sao cho AC = R.

2. **Vẽ dây CD:**
- Dây CD vuông góc với AB có nghĩa là CD sẽ tạo góc 90 độ với đường thẳng AB.
- Nếu C nằm phía trên đường tròn, D sẽ nằm bên dưới đường thẳng AB, và ngược lại.

3. **Kẻ tiếp tuyến tại điểm C:**
- Tiếp tuyến tại C sẽ vuông góc với đường radii OC, tức là đường nối OC.

4. **Tìm điểm M:**
- Tiếp tuyến này sẽ cắt đường thẳng AB tại điểm M.

5. **Tính độ dài CD và MC:**
- Để tính CD, ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OAC, với OA là bán kính R và AC là R.
- Từ đó, ta có thể tính được CD bằng cách sử dụng hình chiếu vuông góc.
- Để tính MC, có thể sử dụng phương trình đường thẳng và khoảng cách giữa các điểm.

### Bước tính toán:

1. Gọi góc ∠OAC = θ, từ đó sin(θ) = AC/R = R/R = 1, và cos(θ) = 0.
2. Xác định tọa độ điểm C dựa vào bán kính R và vị trí tương đối với O.
3. Lập phương trình của tiếp tuyến tại C và tìm điểm M giao với AB.

### Kết luận:
Sau khi thực hiện các bước trên, bạn sẽ tìm được độ dài CD và MC. Nếu bạn cần một phép tính cụ thể hơn hoặc phương trình chi tiết, hãy cho tôi biết!