Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( S = x^2 - 2xy + 6y^2 - 12x + 2y + 45 \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương và đạo hàm.

### Bước 1: Sắp xếp lại biểu thức
Biểu thức S có thể viết lại như sau:

\[ S = x^2 - 2xy - 12x + 6y^2 + 2y + 45 \]

### Bước 2: Xét phần theo x
Chúng ta sẽ hoàn thành bình phương cho phần liên quan đến \(x\):

\[ S = (x^2 - 2xy - 12x) + (6y^2 + 2y + 45) \]

Xét phần \(x^2 - 2xy - 12x\):

\[
x^2 - 2xy - 12x = x^2 - 2x(y + 6)
\]

Hoàn thành bình phương:

\[
= (x - (y + 6))^2 - (y + 6)^2 + (y + 6)^2 - 2(y + 6)
\]
\[
= (x - (y + 6))^2 - (y + 6)^2 + (6y^2 + 2y + 45)
\]

### Bước 3: Tìm cực trị
Đặt \( a = y + 6 \), ta có:

\[
S = (x - a)^2 - a^2 + 6y^2 + 2y + 45
\]

Bây giờ ta cần tối ưu hóa phần còn lại \(6y^2 + 2y + 45 - a^2\).

### Bước 4: Tính đạo hàm của phần y
Tính đạo hàm của \( 6y^2 + 2y + 45 \):

\[
\frac{d}{dy}(6y^2 + 2y + 45) = 12y + 2
\]

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm cực trị:

\[
12y + 2 = 0 \implies y = -\frac{1}{6}
\]

### Bước 5: Tính giá trị tại y = -1/6
Thay giá trị \( y \) vào biểu thức:

\[
S = 6(-\frac{1}{6})^2 + 2(-\frac{1}{6}) + 45 = 6(\frac{1}{36}) - \frac{2}{6} + 45
\]
\[
= \frac{1}{6} - \frac{1}{3} + 45
\]
\[
= \frac{1}{6} - \frac{2}{6} + 45 = -\frac{1}{6} + 45 = \frac{269}{6}
\]

### Bước 6: Tìm giá trị của x
Giá trị của x khi đã có cực trị ở y.
Thay vào biểu thức để tính giá trị nhỏ nhất của S:

Do đó, giá trị nhỏ nhất của S là \(S_{min} = \frac{269}{6}\).