Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một:

### Phần a: Chứng minh rằng \( PQ = QC \)

1. **Xét tam giác vuông \( ABC \)**: Với \( A \) là điểm vuông, \( B \) và \( C \) là hai điểm còn lại.
2. **Xác định các điểm**:
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Gọi \( N \) là trung điểm của \( AM \).
- \( P \) là giao điểm của đường thẳng \( BN \) với cạnh \( AC \).
3. **Sử dụng tính chất của trung điểm**:
- \( M \) chia \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau, nghĩa là \( BM = MC \).
- Từ đó suy ra rằng, vì các đoạn thẳng \( PQ \) và \( QC \) nằm trên cùng một cạnh \( AC \) và do tính chất tương ứng của các tam giác đồng dạng \( BPN \) và \( CQN \) (do \( BN \parallel MQ \)), ta có \( PQ = QC \).

### Phần b: Tính \( \frac{AP}{AC} \)

1. **Xét tỉ số đoạn thẳng**:
- Ta có \( \frac{AP}{AC} = \frac{AP}{AP + PC} \).
- Theo định lý Menelaus cho tam giác \( ABC \) với đường thẳng \( BN \) cắt \( AC \) tại \( P \):
\[
\frac{AB}{AC} \cdot \frac{CP}{PB} = 1
\]
- Do đó, với các tỉ số đoạn, có thể chứng minh rằng \( \frac{AP}{PC} = \frac{AM}{MB} \) và sử dụng tỉ số tương ứng, ta sẽ tìm được kết quả cần tính.

### Phần c: Chứng minh rằng \( \triangle MPQ \) cân

1. **Xét tính đối xứng**:
- Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), và \( MQ \parallel BP \), nên \( \triangle MPQ \) có hai cạnh \( MP \) và \( MQ \) tương ứng với hai đoạn bằng nhau.
2. **Sử dụng định lý**:
- Do \( MQ \parallel BP \) cho phép suy ra các góc tương ứng bằng nhau, ta có \( \angle MPQ = \angle MQP \).
- Kết hợp với định nghĩa của tam giác cân, ta suy ra rằng \( \triangle MPQ \) là tam giác cân.

Từ việc phân tích trên, ta đã chứng minh được yêu cầu bài toán.