Để chứng minh rằng \( AE = CF \) trong hình bình hành \( ABCD \) với \( AE \) và \( CF \) vuông góc với đường chéo \( BD \), ta làm như sau:

1. **Đặc điểm của hình bình hành**:
- Gọi \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \). Trong hình bình hành, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Ta có \( AO = OC \) và \( BO = OD \).

2. **Xét tam giác vuông**:
- Vì \( AE \) và \( CF \) là đường vuông góc với \( BD \), nên từ \( A \) vẽ đường \( AE \) vuông góc với \( BD \) và từ \( C \) vẽ đường \( CF \) vuông góc với \( BD \).

3. **Sử dụng đặc tính đường cao**:
- Từ điểm \( A \) và \( C \) vẽ đường cao \( AE \) và \( CF \) đến đường thẳng \( BD \) (gọi \( E \) và \( F \) lần lượt là chân đường cao từ \( A \) và \( C \) xuống \( BD \)).
- Đoạn thẳng \( AE \) và \( CF \) là hai đường cao ứng với cạnh đáy \( BD \) của hai tam giác vuông \( ABE \) và \( CDF \).

4. **Tính chất tương đương**:
- Xét hai tam giác vuông \( ABE \) và \( CDF \):
- Trong hai tam giác này, \( AB = CD \) (vì \( ABCD \) là hình bình hành).
- Hai cạnh này là bằng nhau vì đó là hai cạnh đối diện trong hình bình hành.

5. **Hệ quả**:
- Theo định lý Pythagore, ở hai tam giác vuông \( ABE \) và \( CDF \) chúng ta có:
\[
AB^2 = AE^2 + BE^2
\]
\[
CD^2 = CF^2 + DF^2
\]
- Vì \( AB = CD \) và \( BE = DF \) (do \( E \) và \( F \) đều nằm trên cùng một đường thẳng \( BD \), và bằng nhau vì \( O \) là trung điểm của \( BD \)):
\[
AE^2 + BE^2 = CF^2 + DF^2
\]
- Từ đó, suy ra \( AE = CF \).

Vậy ta có thể kết luận rằng \( AE = CF \).