Để phân tích đa thức \( x^{12} - 3x^6 - 1 \) thành nhân tử, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

**Bước 1: Thay đổi biến để đơn giản hóa đa thức**

Chúng ta thay \( y = x^6 \). Khi đó, đa thức trở thành:
\[
y^2 - 3y - 1
\]

**Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai**

Chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ay^2 + by + c = 0 \):
\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Trong trường hợp này, \( a = 1 \), \( b = -3 \), và \( c = -1 \). Tính delta:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13
\]

**Bước 3: Tìm các nghiệm**

Áp dụng công thức nghiệm:
\[
y = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}
\]

Khi đó, chúng ta có hai nghiệm:
\[
y_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \quad y_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}
\]

**Bước 4: Viết đa thức thành nhân tử**

Ta có thể viết lại đa thức \( y^2 - 3y - 1 \) như sau:
\[
y^2 - 3y - 1 = \left(y - y_1\right)\left(y - y_2\right)
\]
Với \( y_1 \) và \( y_2 \) đã tính ở bước 3.

**Bước 5: Thay đổi về biến ban đầu**

Chúng ta đã thay \( y = x^6 \), vì vậy thay lại vào đa thức để nhận được:
\[
\left(x^6 - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}\right)\left(x^6 - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}\right)
\]

**Tổng kết**

Vậy đa thức \( x^{12} - 3x^6 - 1 \) sau khi phân tích thành nhân tử sẽ có dạng:
\[
\left(x^6 - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}\right)\left(x^6 - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}\right)
\]

Đây là kết quả cuối cùng cho việc phân tích đa thức trên thành nhân tử.