Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức cơ bản về vectơ và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Giả sử:

- \( \vec{MI} \) là vectơ từ điểm \( M \) đến điểm \( I \).
- \( \vec{MN} \) là vectơ từ điểm \( M \) đến điểm \( N \).

Theo đề bài, ta có:

\[
3 \vec{MI} = 2 \vec{MN}
\]

Từ đó, ta có thể viết:

\[
\vec{MI} = \frac{2}{3} \vec{MN}
\]

Từ định nghĩa, vector \( \vec{MN} \) có thể được viết dưới dạng tổng của vector \( \vec{MI} \) và vector \( \vec{IN} \):

\[
\vec{MN} = \vec{MI} + \vec{IN}
\]

Do đó, thay thế \( \vec{MI} \) vào biểu thức trên, ta có:

\[
\vec{MN} = \frac{2}{3} \vec{MN} + \vec{IN}
\]

Giải phương trình này, ta có:

\[
\vec{IN} = \vec{MN} - \frac{2}{3} \vec{MN} = \frac{1}{3} \vec{MN}
\]

Bây giờ, để tính khoảng cách đến mặt phẳng, ta cần biết rằng khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng được tính bằng cách kéo dài một đường vuông góc từ điểm đó đến mặt phẳng.

Gọi \( d_1 \) là khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng \( \alpha \) và \( d_2 \) là khoảng cách từ điểm \( N \) đến mặt phẳng \( \alpha \).

Vì \( I \) là điểm cắt giữa đường thẳng và mặt phẳng, nên:

- \( d_1 \) tương ứng với chiều dài projection của vectơ \( MI \).
- \( d_2 \) tương ứng với chiều dài projection của vectơ \( IN \).

Khoảng cách từ các điểm đến mặt phẳng tỉ lệ với chiều dài của các vectơ này. Cụ thể:

- Vì \( \vec{MI} = \frac{2}{3} \vec{MN} \), thì chiều dài \( d_1 \) sẽ là tỉ lệ của \( MI \).
- Tương tự, từ \( \vec{IN} = \frac{1}{3} \vec{MN} \), chiều dài \( d_2 \) sẽ là tỉ lệ của \( IN \).

Vì vậy, tỉ số khoảng cách \( \frac{d_1}{d_2} \) được tính bằng:

\[
\frac{d_1}{d_2} = \frac{\left| \vec{MI} \right|}{\left| \vec{IN} \right|} = \frac{\frac{2}{3} \left| \vec{MN} \right|}{\frac{1}{3} \left| \vec{MN} \right|} = \frac{2}{1} = 2
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
\frac{d_1}{d_2} = 2
\]