Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là \( 10a + b \), trong đó \( a \) là chữ số hàng chục và \( b \) là chữ số hàng đơn vị. Ta có các điều kiện sau:

1. Hai lần chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 3 đơn vị:
\[
2a - b = 3
\]

2. Nếu thêm vào tích hai chữ số của số tự nhiên đã cho 35 đơn vị thì được một số tự nhiên mới lớn hơn số tự nhiên 10 đơn vị:
\[
10a + b + ab + 35 = 10a + b + 10
\]
Rút gọn điều này ta có:
\[
ab + 35 = 10
\]
Điều này là không hợp lý, có vẻ như có sự nhầm lẫn trong mô tả. Ta sẽ lấy lại điều kiện này, nó thực chất là:
\[
ab + 35 = (10a + b) + 10
\]
Rút gọn cho ra:
\[
ab + 35 = 10a + b + 10
\]
Chuyển vế:
\[
ab - 10a + 35 - b - 10 = 0
\]
Ta có:
\[
ab - 10a - b + 25 = 0
\]
Hay:
\[
ab - b - 10a + 25 = 0
\]

Từ điều thứ nhất, ta có thể viết lại:
\[
b = 2a - 3
\]

Thay giá trị của \( b \) vào đầu tiên:
\[
a(2a - 3) - (2a - 3) - 10a + 25 = 0
\]
Mở rộng:
\[
2a^2 - 3a - 2a + 3 - 10a + 25 = 0
\]
Rút gọn:
\[
2a^2 - 15a + 28 = 0
\]

Giải phương trình này bằng công thức nghiệm:
\[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 28}}{2 \cdot 2}
\]
Tính discriminant:
\[
D = 225 - 224 = 1
\]
Vậy:
\[
a = \frac{15 \pm 1}{4}
\]
Hai nghiệm:
\[
a_1 = \frac{16}{4} = 4 \quad \text{and} \quad a_2 = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} \text{ (không phải là số nguyên)}
\]
Vậy, \( a = 4 \).

Thay vào để tính \( b \):
\[
b = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5
\]
Vậy số tự nhiên đã cho là:
\[
10a + b = 10 \cdot 4 + 5 = 40 + 5 = 45
\]

Kiểm tra lại các điều kiện:
1. \( 2 \cdot 4 - 5 = 8 - 5 = 3 \): điều kiện đúng.
2. Tích \( 4 \cdot 5 = 20 \); và \( 20 + 35 = 55 \); và \( 45 + 10 = 55 \): đúng.

Vậy số tự nhiên đã cho là \( \boxed{45} \).