So sánh

Để so sánh các biểu thức \( A \) và \( B \), và \( M \) và \( N \), chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### Phần e: So sánh \( A \) và \( B \)

Cho:
\[
A = \frac{2024^{2024} + 1}{2024^{2025} + 1}
\]
\[
B = \frac{2024^{2024} + 1}{2024^{2023} + 1}
\]

**Bước 1: So sánh \( A \) và \( B \)**

- Xét tỉ số \( \frac{A}{B} \):
\[
\frac{A}{B} = \frac{2024^{2024} + 1}{2024^{2025} + 1} \cdot \frac{2024^{2023} + 1}{2024^{2024} + 1}
\]
- Đơn giản hóa, ta có:
\[
\frac{A}{B} = \frac{2024^{2023} + 1}{2024^{2025} + 1}
\]
- Vì \( 2024^{2025} \) lớn hơn \( 2024^{2023} \), nên:
\[
2024^{2023} + 1 < 2024^{2025} + 1
\]
- Do đó, \( \frac{A}{B} < 1 \) suy ra \( A < B \).

### Phần f: So sánh \( M \) và \( N \)

Cho:
\[
M = \frac{100^{100} + 1}{100^{99} + 1}
\]
\[
N = \frac{100^{101} + 1}{100^{100} + 1}
\]

**Bước 2: So sánh \( M \) và \( N \)**

- Xét tỉ số \( \frac{M}{N} \):
\[
\frac{M}{N} = \frac{100^{100} + 1}{100^{99} + 1} \cdot \frac{100^{100} + 1}{100^{101} + 1}
\]
- Đơn giản hóa, ta có:
\[
\frac{M}{N} = \frac{(100^{100} + 1)^2}{(100^{99} + 1)(100^{101} + 1)}
\]
- So sánh số hạng, nhận thấy \( 100^{100} + 1 \) sẽ lớn hơn cả \( 100^{99} + 1 \) và \( 100^{101} + 1 \).
- Do đó, \( M > N \).

### Kết luận

- \( A < B \)
- \( M > N \)