Để tính biểu thức \( ( \frac{2}{3} + \frac{5}{7} - \frac{8}{7} ) \cdot ( -\frac{2}{4} + \frac{5}{6} ) ( \frac{2}{3} + \frac{5}{7} - \frac{8}{7} ) \cdot ( -\frac{2}{4} + \frac{5}{6} ) \), trước tiên ta sẽ tính từng phần trong ngoặc.

### Tính phần đầu tiên:
\[
\frac{2}{3} + \frac{5}{7} - \frac{8}{7}
\]
Ta sẽ tính \(\frac{5}{7} - \frac{8}{7}\):
\[
\frac{5 - 8}{7} = \frac{-3}{7}
\]
Do đó:
\[
\frac{2}{3} + \frac{5}{7} - \frac{8}{7} = \frac{2}{3} - \frac{3}{7}
\]
Để cộng 2 phân số này, ta tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của mẫu số 3 và 7, là 21:
\[
\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21}
\]
\[
\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{9}{21}
\]
Do đó:
\[
\frac{2}{3} - \frac{3}{7} = \frac{14}{21} - \frac{9}{21} = \frac{5}{21}
\]

### Tính phần thứ hai:
\[
-\frac{2}{4} + \frac{5}{6}
\]
Ta rút gọn \(-\frac{2}{4}\) thành \(-\frac{1}{2}\):
\[
-\frac{1}{2} + \frac{5}{6}
\]
Tương tự, tìm BCNN của mẫu 2 và 6 là 6:
\[
-\frac{1}{2} = -\frac{3}{6}
\]
Vậy:
\[
-\frac{1}{2} + \frac{5}{6} = -\frac{3}{6} + \frac{5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

### Tính cả biểu thức:
Giờ ta có:
\[
\left( \frac{5}{21} \right) \cdot \left( \frac{1}{3} \right) \cdot \left( \frac{5}{21} \right) \cdot \left( \frac{1}{3} \right)
\]
Tính cái đầu tiên:
\[
\frac{5}{21} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{63}
\]
Bây giờ tính cái thứ hai:
\[
\frac{5}{21} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{63}
\]
Cuối cùng:
\[
\frac{5}{63} \cdot \frac{5}{63} = \frac{25}{3969}
\]

Do đó, kết quả của biểu thức là:
\[
\boxed{\frac{25}{3969}}
\]