Gọi số tự nhiên có hai chữ số là \( xy \), trong đó \( x \) là chữ số hàng chục và \( y \) là chữ số đơn vị. Theo đề bài, ta có các điều kiện sau:

1. \( x = y + 2 \) (chữ số hàng chục lớn hơn chữ số đơn vị là 2)
2. Nếu viết thêm chữ số hàng chục \( x \) vào bên phải số \( xy \), ta được số mới là \( xyx \) và \( xyx = 100x + 10y + x = 101x + 10y \).

Theo đề bài, sự khác biệt giữa số mới và số cũ là 682:
\[
101x + 10y - (10x + y) = 682.
\]
Rút gọn phương trình trên, ta có:
\[
101x + 10y - 10x - y = 682,
\]
\[
91x + 9y = 682.
\]
Ta có hệ phương trình:
1. \( x = y + 2 \)
2. \( 91x + 9y = 682 \)

Thay \( x \) từ phương trình 1 vào phương trình 2:
\[
91(y + 2) + 9y = 682.
\]
Rút gọn phương trình:
\[
91y + 182 + 9y = 682,
\]
\[
100y + 182 = 682,
\]
\[
100y = 682 - 182,
\]
\[
100y = 500,
\]
\[
y = 5.
\]

Thay \( y \) vào phương trình 1 để tìm \( x \):
\[
x = y + 2 = 5 + 2 = 7.
\]

Vậy số tự nhiên có hai chữ số là \( 75 \).

**Kiểm tra**:
- Chữ số hàng chục là 7, chữ số đơn vị là 5. \( 7 = 5 + 2 \) đúng.
- Nếu viết thêm chữ số 7 bên phải, ta có số mới là \( 757 \).
- Tính sự khác biệt: \( 757 - 75 = 682 \) đúng.

Vậy số tự nhiên mà bạn tìm là **75**.