Chúng ta sẽ khai triển ba biểu thức theo định lý nhị thức. Cụ thể:

### a) \(\left(x + \frac{1}{3}\right)^3\)

Sử dụng công thức khai triển nhị thức:

\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\]

Trong trường hợp này, \(a = x\) và \(b = \frac{1}{3}\):

\[
\left(x + \frac{1}{3}\right)^3 = x^3 + 3x^2\left(\frac{1}{3}\right) + 3x\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^3
\]

Tính từng hạng tử:

- \(x^3\)
- \(3x^2 \cdot \frac{1}{3} = x^2\)
- \(3x \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{3}x\)
- \(\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}\)

Kết hợp lại:

\[
\left(x + \frac{1}{3}\right)^3 = x^3 + x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{27}
\]

### b) \((2 + y)^{3/2}\)

Cách khai triển này cần một chút khác biệt vì lũy thừa không phải là số nguyên. Tuy nhiên, nếu yêu cầu chỉ là khai triển lấy gần đúng, ta có thể dùng khai triển Taylor (hoặc công thức Newton binomial cho số thực). Ta có thể xem xét một cách gần đúng cho các giá trị nhỏ:

Giả sử \(y\) nhỏ, ta có:

\[
(2+y)^{3/2} \approx 2^{3/2} + \frac{3}{2}(2^{1/2})y = 2\sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}y
\]

### c) \((x^2 + 2y)^3\)

Cũng áp dụng định lý nhị thức:

\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\]

Với \(a = x^2\) và \(b = 2y\):

\[
(x^2 + 2y)^3 = (x^2)^3 + 3(x^2)^2(2y) + 3(x^2)(2y)^2 + (2y)^3
\]

Tính từng hạng tử:

- \((x^2)^3 = x^6\)
- \(3(x^2)^2(2y) = 6x^4y\)
- \(3(x^2)(2y)^2 = 12x^2y^2\)
- \((2y)^3 = 8y^3\)

Kết hợp lại:

\[
(x^2 + 2y)^3 = x^6 + 6x^4y + 12x^2y^2 + 8y^3
\]

### Kết quả cuối cùng:

**a)** \(x^3 + x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{27}\)

**b)** \(2\sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}y\) (gần đúng cho \(y\) nhỏ)

**c)** \(x^6 + 6x^4y + 12x^2y^2 + 8y^3\)