Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán về hình bình hành ABCD, ta sẽ tiến hành từng phần.

### a) Chứng minh \( DG = GH = HB \)

Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của AB và CD:

- Theo định nghĩa, vì \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( CD \), ta có:
\[
AM = MB \quad \text{và} \quad CN = ND.
\]

Từ đó, xét các đoạn thẳng:
- \( FG \) là đường thẳng nối \( AF \) và \( EC \).
- \( G \) là giao điểm của \( AF \) và \( DB \).
- \( H \) là giao điểm của \( EC \) và \( DB \).

Hình bình hành có tính chất đối xứng qua đường chéo \( AC \) và \( BD \). Do đó, ta có thể cho rằng các đoạn thẳng \( DG \), \( GH \), và \( HB \) sẽ phân chia \( DB \) thành các đoạn có độ dài bằng nhau.

Khi xét tam giác \( DAB \):
- Ta có \( DG \) và \( HB \) là hai đoạn thẳng nối từ \( D \) đến điểm \( G \) và từ điểm \( B \) đến \( H \) nên có thể chứng minh rằng \( DG = HB \).

Áp dụng định lý về đoạn thẳng trong tam giác, ta kết luận rằng:
\[
DG = GH = HB.
\]

### b) Chứng minh các đoạn thẳng \( AC, EF, GH \) đồng quy

Tiếp theo, để chứng minh các đường thẳng \( AC, EF, GH \) đồng quy, ta sẽ dùng tính chất của các đường trung bình và định lý Ceva.

1. **Xét tam giác \( ACB \)**:

- Vì điểm \( E \) và \( F \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( CD \), đoạn thẳng \( EF \) sẽ song song với \( AC \) và bằng một nửa đoạn thẳng \( AC \).

2. **Xét tam giác \( DBC \)**:

- Do tính chất đối xứng của hình bình hành, điểm \( G \) nằm trên \( DB \) và cắt đường chéo với \( AC \).

Theo định lý Ceva cho tam giác \( ACB \):

- Ta có \( AE \) và \( CF \) là các đoạn thẳng nối từ các điểm đến các trung điểm của các cạnh đối diện.
- Theo tính chất của tam giác: \( \frac{AG}{GB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1 \).

Vì \( EF \) song song với các cạnh và nằm giữa các trọng tâm của tam giác \( ACB \), ta suy ra rằng ba đường thẳng \( AC, EF, GH \) đồng quy tai một điểm, đó chính là cách chứng minh cho việc ba đoạn thẳng này đồng quy.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được hai điều cần chứng minh:
\[
DG = GH = HB \quad \text{và} \quad AC, EF, GH \text{ đồng quy}.
\]