Chúng ta cần tìm số tự nhiên \( a \) sao cho \( (3a + 37) \) chia hết cho \( (2a + 3) \). Điều này có thể được diễn đạt bằng biểu thức toán học:

\[
(3a + 37) \mod (2a + 3) = 0
\]

Để giải quyết vấn đề này, chúng ta có thể làm theo các bước sau:

1. Viết lại điều kiện chia hết:
\[
3a + 37 = k(2a + 3) \quad (k \in \mathbb{N})
\]

2. Thay thế \( k \) vào phương trình:
\[
3a + 37 = k(2a + 3)
\]

3. Giải phương trình này cho \( a \):
\[
3a + 37 = 2ka + 3k
\]
\[
3a - 2ka = 3k - 37
\]
\[
a(3 - 2k) = 3k - 37
\]

4. Từ đây, \( a \) sẽ là:
\[
a = \frac{3k - 37}{3 - 2k}
\]

5. Vì \( a \) là số tự nhiên, điều kiện \( (3k - 37) \) phải chia hết cho \( (3 - 2k) \).

Bây giờ chúng ta cần tìm giá trị \( k \) sao cho \( a \) tự nhiên.

- Nếu \( 3 - 2k > 0 \):
\[
k < \frac{3}{2} \implies k = 0, 1
\]

- Với \( k = 0 \):
\[
a = \frac{-37}{3} \quad (không phải tự nhiên)
\]

- Với \( k = 1 \):
\[
a = \frac{3 - 37}{3 - 2} = \frac{-34}{1} \quad (không phải tự nhiên)
\]

- Nếu \( 3 - 2k < 0 \):
\[
k > \frac{3}{2} \implies k = 2, 3, \ldots
\]

- Với \( k = 2 \):
\[
a = \frac{3(2) - 37}{3 - 4} = \frac{6 - 37}{-1} = \frac{-31}{-1} = 31 \quad (đúng)
\]

Kiểm tra lại với \( a = 31 \):
\[
2a + 3 = 2*31 + 3 = 62 + 3 = 65
\]
\[
3a + 37 = 3*31 + 37 = 93 + 37 = 130
\]
Tính \( \frac{130}{65} = 2 \) (chia hết).

Vậy số tự nhiên \( a \) thoả mãn điều kiện là:
\[
\boxed{31}
\]