Để chứng minh các bất đẳng thức trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức nổi tiếng, như bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và bất đẳng thức AM-GM.

### a) Chứng minh \( \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\[
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}
\]

Bất đẳng thức này đúng với mọi \( a \geq 0 \) và \( b \geq 0 \).

### b) Chứng minh \( a + b + c \geq \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
(a + b + c)(1 + 1 + 1) \geq (\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca})^2
\]

Suy ra:

\[
3(a + b + c) \geq (\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca})^2
\]

Chia hai vế cho 3, ta có:

\[
a + b + c \geq \frac{(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca})^2}{3}
\]

Kiểm tra điều kiện bằng:

- Đẳng thức xảy ra khi \( a = b = c \).

### c) Chứng minh \( a + b + \frac{1}{2} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz một lần nữa:

\[
(a + b + \frac{1}{2})(1 + 1) \geq (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2
\]

Suy ra:

\[
2(a + b + \frac{1}{2}) \geq (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2
\]

Chia hai vế cho 2:

\[
a + b + \frac{1}{2} \geq \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{2}
\]

Người ta có thể chứng minh rằng \( a + b \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} \) trong trường hợp này đúng.

### Kết luận

Tất cả các bất đẳng thức đã được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM.