Để giải phương trình \( S = \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 8} + \ldots + \frac{1}{2x(2x+2)} = \frac{15}{93} \), ta cần tìm tổng của dãy số bên trái.

Dạng tổng quát của các số hạng là:

\[
\frac{1}{2k(2k+2)} \quad \text{với } k = 1, 2, \ldots, x.
\]

Ta có thể rút gọn từng số hạng:

\[
\frac{1}{2k(2k+2)} = \frac{1}{2k \cdot 2(k+1)} = \frac{1}{4k(k+1)}.
\]

Ta có thể viết lại tổng này:

\[
S = \sum_{k=1}^{x} \frac{1}{4k(k+1)}.
\]

Phân giải từng số hạng:

\[
\frac{1}{4k(k+1)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right).
\]

Như vậy, tổng \( S \) trở thành:

\[
S = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{x} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right).
\]

Tổng này là một chuỗi số dự trữ, và nó được rút gọn thành:

\[
S = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{x+1} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{x}{x+1} \right).
\]

Vì vậy:

\[
S = \frac{x}{4(x+1)}.
\]

Chúng ta có phương trình:

\[
\frac{x}{4(x+1)} = \frac{15}{93}.
\]

Rút gọn \( \frac{15}{93} \):

\[
\frac{15}{93} = \frac{5}{31}.
\]

Do đó, chúng ta có:

\[
\frac{x}{4(x+1)} = \frac{5}{31}.
\]

Chéo ra, ta có:

\[
31x = 20(x + 1).
\]

Giải phương trình:

\[
31x = 20x + 20 \implies 11x = 20 \implies x = \frac{20}{11}.
\]

Kết quả là \( x = \frac{20}{11} \). Tuy nhiên, giá trị \( x \) phải là một số nguyên, vì vậy trong trường hợp này không có giải pháp nguyên nào của \( x \) thỏa mãn phương trình ban đầu.

Vì vậy, trong những điều kiện này, không có giải pháp nguyên cho phương trình đã cho.