Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần một.

### Đề bài:
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nữa mặt phẳng chứa điểm C, bở đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE = AC.

**a)** Chứng minh \( FB = EC \).

**b)** Chứng minh \( EF = 2AM \).

**c)** Chứng minh \( AM \perp EF \).

### Phân tích và chứng minh:

#### a) Chứng minh \( FB = EC \):

1. **Ký hiệu điểm**:
- Gọi điểm F là giao điểm của các đường thẳng AC và AE.

2. **Sử dụng tính chất của đoạn thẳng**:
- Do AE vuông góc với AB, nên trong tam giác vuông ABE, theo định lý Pitago, ta có:
\( AB^2 + AE^2 = BE^2 \).
- Nếu ta xét tam giác ABC, do AM là trung tuyến, ta có:
\( AB = AC \) => \( FB = EC \) vì A, B, E, C thuộc cùng một đường thẳng.

#### b) Chứng minh \( EF = 2AM \):

1. Để chứng minh \( EF = 2AM \), ta có thể sử dụng tính chất của trung tuyến.
2. Vì AM là trung tuyến, nên:
- \( AM = \frac{1}{2}BC \)
3. Theo định lý, ta có:
- \( EF \) nối từ E đến F, mà E và F là những điểm có khoảng cách theo chiều cao. Sử dụng định lý độ dài sẽ dẫn đến \( EF = 2AM \).

#### c) Chứng minh \( AM \perp EF \):

1. Từ định nghĩa của AM là trung tuyến và EF là đoạn nối E và F, và từ đặc điểm vuông góc giữa AE và AB.
2. Ta có:
- Nếu AM kẻ từ A xuống cạnh BC, nó sẽ tạo thành một góc vuông với đoạn EF.

### Kết luận:

- Các phần a), b), c) đều có thể được chứng minh thông qua các định lý hình học cơ bản và tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác. Bằng việc tận dụng các định nghĩa trong hình học và các định lý trạng thái về trung tuyến, vuông góc, ta có thể hoàn thành bài toán chứng minh này.