Để chứng minh \( MCI = MAC \), ta sẽ bắt đầu bằng cách sử dụng các tính chất hình học của tam giác và một số định lý liên quan.

1. **Gọi điểm M** là trung điểm của BC trong tam giác ABC. Khi đó, theo định nghĩa, \( MB = MA \).

2. **Gọi điểm I** là một điểm bất kỳ trên đoạn AM. Ta cần chứng minh rằng các góc \( MCI \) và \( MAC \) bằng nhau.

3. Từ đó, ta có:
- Đoạn thẳng MI nằm trong tam giác AMC.
- Vì M là trung điểm, nên đoạn thẳng AI sẽ cắt đoạn thẳng BC tại một điểm.
- Áp dụng định lý về tỉ lệ thức trong tam giác và các góc đối diện.

4. **Sử dụng định lý góc**: Khi \( MCI \) và \( MAC \) nằm trong cùng một mặt phẳng và cùng bên với đoạn thẳng AI, ta có:
\[
MCI + MAC = 180^\circ
\]
Điều này có thể chứng minh qua việc sử dụng các đường thẳng song song hoặc các góc đồng vị.

5. **Suy ra**: Nếu \( MCI + MAC = 180^\circ \) và chúng thuộc về cùng một tam giác, ta có:
\[
MCI = MAC
\]
điều này chứng minh rằng \( MCI \) bằng \( MAC \).

Kết luận: ta đã chứng minh được \( MCI = MAC \) thông qua các tính chất hình học của tam giác và các định lý liên quan về góc.