Để chứng minh đẳng thức \(AM + CP = BN + DQ\), ta sử dụng một số tính chất của hình bình hành và hình học không gian.

1. **Xét các cạnh của hình bình hành:**
Gọi \(AB = CD\) và \(AD = BC\) là các cặp cạnh đối diện của hình bình hành \(ABCD\). Các cạnh này có độ dài bằng nhau.

2. **Hạ đường cao:**
Khi hạ các đoạn \(AM\), \(BN\), \(CP\), và \(DQ\) vuông góc với đường thẳng \(d\), ta được 4 đoạn thẳng với các điểm cuối \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) nằm trên đường thẳng \(d\).

3. **Sử dụng tính chất hình bình hành:**
Trong hình bình hành, các góc đối diện bằng nhau và hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm. Do đó, ta có:
- \(AM\) là độ cao từ \(A\) đến đường thẳng \(d\).
- \(CP\) là độ cao từ \(C\) đến đường thẳng \(d\).
- \(BN\) là độ cao từ \(B\) đến đường thẳng \(d\).
- \(DQ\) là độ cao từ \(D\) đến đường thẳng \(d\).

4. **Tính toán chiều cao:**
- Độ dài \(AM + CP\) chính là tổng chiều cao từ hai đỉnh \(A\) và \(C\) đến đường \(d\).
- Tương tự, độ dài \(BN + DQ\) là tổng chiều cao từ hai đỉnh \(B\) và \(D\) đến đường \(d\).

5. **Áp dụng tính chất hình bình hành:**
Cách hạ cao từ các đỉnh đến đường thẳng \(d\) trong hình bình hành có tính chất đối xứng. Chính xác hơn, ta có thể chứng minh rằng chiều cao từ hai đỉnh đối diện (như \(A\) và \(C\) hoặc \(B\) và \(D\)) đến một đường thẳng song song thì tổng các chiều cao đó luôn bằng nhau, tức là:
\[
AM + CP = BN + DQ
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được đẳng thức \(AM + CP = BN + DQ\) trong hình bình hành \(ABCD\) với đường thẳng \(d\) nằm ngoài.