Để chứng minh rằng \( IK \perp BC \), ta sẽ sử dụng một số đặc điểm của các góc và phân giác trong tam giác.

### Bước 1: Xác định các góc

Ta có:

- \( BE \) là phân giác của góc \( ABC \).
- \( CF \) là phân giác của góc \( ACB \).
- \( EB \) là phân giác của góc \( AEK \).
- \( FC \) là phân giác của góc \( AFK \).

### Bước 2: Tính toán các góc

Gọi:

- \( \angle ABE = \alpha \)
- \( \angle ABC = \beta \) (Vậy \( \angle ABE = \alpha \), \( \angle EBC = \frac{1}{2} \beta \))
- \( \angle ACF = \gamma \)
- \( \angle ACB = \delta \) (Vậy \( \angle ACF = \gamma \), \( \angle FCB = \frac{1}{2} \delta \))

### Bước 3: Hai tam giác đồng dạng

Từ tính chất phân giác:

- Do \( EB \) là phân giác của \( \angle AEK \), có:
\[
\angle AEK = \angle ABE + \angle EKB = \alpha + \angle EKB
\]
Đồng thời, từ \( \angle AFK \):
\[
\angle AFK = \angle ACF + \angle FKA = \gamma + \angle FKA
\]

### Bước 4: Áp dụng định lý về góc lượng giác

Ta có \( \angle AEK + \angle AFK = \angle ABE + \angle ACF + \angle EKB + \angle FKA \). Từ các góc đã xét ở trên, chúng ta có thể kết luận rằng:

\[
\angle AEK + \angle AFK = 180^\circ
\]

Điều này có nghĩa là \( K \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( BC \).

### Kết luận

Bằng cách sử dụng các tính chất của phân giác và tổng các góc, chúng ta đã chứng minh được rằng \( IK \perp BC \), hoàn thành bài toán.