Để chứng minh một số chính phương chia cho 5 chỉ có thể dư 0, 1 hoặc 4, ta sẽ xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra khi chia một số tự nhiên cho 5:
 * Trường hợp 1: Số tự nhiên chia hết cho 5.
   * Giả sử số tự nhiên đó là 5k (với k là số tự nhiên).
   * Bình phương số này, ta được: (5k)² = 25k² = 5(5k²).
   * Như vậy, số chính phương này chia hết cho 5 (dư 0).
 * Trường hợp 2: Số tự nhiên chia cho 5 dư 1.
   * Giả sử số tự nhiên đó là 5k + 1 (với k là số tự nhiên).
   * Bình phương số này, ta được: (5k + 1)² = 25k² + 10k + 1 = 5(5k² + 2k) + 1.
   * Như vậy, số chính phương này chia cho 5 dư 1.
 * Trường hợp 3: Số tự nhiên chia cho 5 dư 2.
   * Giả sử số tự nhiên đó là 5k + 2 (với k là số tự nhiên).
   * Bình phương số này, ta được: (5k + 2)² = 25k² + 20k + 4 = 5(5k² + 4k) + 4.
   * Như vậy, số chính phương này chia cho 5 dư 4.
 * Trường hợp 4: Số tự nhiên chia cho 5 dư 3.
   * Giả sử số tự nhiên đó là 5k + 3 (với k là số tự nhiên).
   * Bình phương số này, ta được: (5k + 3)² = 25k² + 30k + 9 = 5(5k² + 6k + 1) + 4.
   * Như vậy, số chính phương này chia cho 5 dư 4.
 * Trường hợp 5: Số tự nhiên chia cho 5 dư 4.
   * Giả sử số tự nhiên đó là 5k + 4 (với k là số tự nhiên).
   * Bình phương số này, ta được: (5k + 4)² = 25k² + 40k + 16 = 5(5k² + 8k + 3) + 1.
   * Như vậy, số chính phương này chia cho 5 dư 1.
Kết luận:
Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thể dư 0, 1 hoặc 4.