Để rút gọn biểu thức \(8 \frac{2}{7} - (3 \cdot \frac{4}{9}) + 4 \frac{2}{7}\), trước tiên chúng ta cần chuyển đổi tất cả các số hỗn hợp thành phân số.

1. **Chuyển đổi số hỗn hợp thành phân số:**
- \(8 \frac{2}{7} = 8 + \frac{2}{7} = \frac{56}{7} + \frac{2}{7} = \frac{58}{7}\)
- \(4 \frac{2}{7} = 4 + \frac{2}{7} = \frac{28}{7} + \frac{2}{7} = \frac{30}{7}\)

2. **Tính toán \(3 \cdot \frac{4}{9}\):**
\[
3 \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}
\]

3. **Thay thế vào biểu thức:**
Biểu thức trở thành:
\[
\frac{58}{7} - \frac{4}{3} + \frac{30}{7}
\]

4. **Cộng và trừ các phân số:**
Đầu tiên, chúng ta cần làm cho các phân số có cùng mẫu số. Mẫu số chung của 7 và 3 là 21.

- Chuyển đổi \(\frac{58}{7}\) và \(\frac{30}{7}\) sang mẫu số 21:
\[
\frac{58}{7} = \frac{58 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{174}{21}
\]
\[
\frac{30}{7} = \frac{30 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{90}{21}
\]

- Chuyển đổi \(\frac{4}{3}\) sang mẫu số 21:
\[
\frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{28}{21}
\]

Bây giờ chúng ta có:
\[
\frac{174}{21} - \frac{28}{21} + \frac{90}{21}
\]

5. **Thực hiện tính toán:**
\[
\frac{174 - 28 + 90}{21} = \frac{236}{21}
\]

6. **Rút gọn phân số:**
\(\frac{236}{21}\) không thể rút gọn thêm.

Kết quả cuối cùng là:
\[
\frac{236}{21}
\]

Nếu muốn chuyển về số hỗn hợp:
\[
\frac{236}{21} = 11 \frac{5}{21}
\]

Vậy kết quả rút gọn của biểu thức là:
\[
11 \frac{5}{21}
\]