Một vật khối lượng m ở độ cao h so với mặt đất lực tác dụng của trái đất lên vật F=(m.g.R^2)/(R+h)^2, với R là bán kính Trái đất và g là giá tốc rơi tự do.

Để khai triển công thức lực tác dụng của Trái Đất lên một vật ở độ cao \( h \) so với mặt đất, ta có công thức:

\[
F = \frac{m g R^2}{(R + h)^2}
\]

**a)** Để khai triển \( F \) dựa trên biến \( \frac{h}{R} \), ta sẽ biến đổi công thức trên.

Đầu tiên, chúng ta viết lại mẫu số:

\[
(R + h)^2 = R^2 + 2Rh + h^2
\]

Do đó,

\[
F = \frac{m g R^2}{R^2 + 2Rh + h^2}
\]

Khi \( h \) nhỏ so với \( R \) (tức là \( \frac{h}{R} \ll 1 \)), ta có thể dùng khai triển Định lý Newton cho \( (1+x)^{-n} \):

\[
(1 + \frac{h}{R})^{-2} \approx 1 - 2\frac{h}{R} + O\left(\left(\frac{h}{R}\right)^2\right)
\]

Áp dụng vào công thức lực \( F \):

\[
F \approx m g R^2 \left(1 - 2\frac{h}{R}\right) \frac{1}{R^2}
\]
\[
F \approx mg(1 - 2\frac{h}{R})
\]
\[
F \approx mg - 2mgh/R
\]

Vậy khai triển của \( F \) theo \( \frac{h}{R} \) là:

\[
F \approx mg - 2mgh/R
\]

**b)** Để tìm gần đúng bậc 1, ta chỉ giữ lại thành phần \( mg \):

\[
F \approx mg \text{ còn } - 2mgh/R \text{ thì } F \xapprox{} mg \text{ khi } h=0
\]

Để tìm \( h \) mà tại đó \( F \) xấp xỉ \( mg \), ta cần tính khi nào mà \( 2 m g \frac{h}{R} \) là khá nhỏ so với \( mg \):

\[
2mgh/R \ll mg \implies h \ll \frac{R}{2}
\]

Từ đó, chúng ta có điều kiện:

\[
h \ll \frac{R}{2}
\]

Tổng hợp lại, khi \( h \) nhỏ hơn và gần \( \frac{R}{2} \), thì lực tác dụng \( F \) xấp xỉ \( mg \).