Một vật khối lượng m ở độ cao h so với mặt đất lực tác dụng của trái đất lên vật F=(m.g.R^2)/(R+h)^2

Chúng ta có công thức lực tác dụng của Trái đất lên một vật khối lượng \( m \) ở độ cao \( h \) so với mặt đất:

\[
F = \frac{m g R^2}{(R + h)^2}
\]

### a) Khai triển \( F \) theo hàm đa thức \( \frac{h}{R} \)

Để khai triển \( F \), ta có thể sử dụng công thức khai triển Taylor cho biểu thức \( \frac{1}{(R+h)^2} \). Biểu thức này có thể được viết lại như sau:

\[
F = m g R^2 \cdot \frac{1}{(R + h)^2} = m g R^2 \cdot \frac{1}{R^2} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{h}{R})^2}
\]

Khi đó, chúng ta có:

\[
F = m g \cdot \frac{1}{(1 + \frac{h}{R})^2}
\]

Áp dụng khai triển Taylor cho \( \frac{1}{(1+x)^2} \):

\[
\frac{1}{(1+x)^2} \approx 1 - 2x + \ldots
\]

Với \( x = \frac{h}{R} \), ta có:

\[
\frac{1}{(1 + \frac{h}{R})^2} \approx 1 - 2\frac{h}{R}
\]

Do đó:

\[
F \approx m g \left( 1 - 2\frac{h}{R} \right) = mg - 2\frac{mgh}{R}
\]

### b) Gần đúng bậc 1 của \( F \) theo \( h \) và xác định \( h \) khi \( F \) xấp xỉ \( m.g \)

Gần đúng bậc 1 của \( F \) theo \( h \) là phần đầu tiên trong khai triển, tức là:

\[
F \approx mg - 2 \frac{mgh}{R}
\]

Khi \( h \) đủ nhỏ, \( F \) có thể gần bằng \( mg \) nếu thành phần \( -2 \frac{mgh}{R} \) đủ nhỏ so với \( mg \). Đặt \( F \approx mg \):

\[
mg - 2 \frac{mgh}{R} \approx mg
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
-2 \frac{mgh}{R} \approx 0
\]

Để có thể xấp xỉ \( F \approx mg \), ta cần điều kiện để \( 2 \frac{h}{R} \) đủ nhỏ:

\[
h \ll R
\]

Nếu ta lấy một giá trị cụ thể, chẳng hạn như \( h = \frac{R}{2} \), thì:

\[
F \approx mg - 2 \frac{mg \cdot \frac{R}{2}}{R} = mg - mg = 0
\]

Như vậy, để \( F \approx mg \), \( h \) cần phải nhỏ hơn khoảng một vài phần trăm của \( R \). Một quy tắc thông thường là khi \( h < 0.1R \), lực \( F \) xấp xỉ \( mg \) theo nhiều cách.