Để giải bài toán này, ta sẽ bắt đầu với phần a:

**a. Tìm x, y biết:**
\[
\frac{4 + x}{7 + y} = \frac{4}{7} \quad \text{và} \quad x + y = 22
\]

Bước 1: Giải phương trình đầu tiên.
\[
\frac{4 + x}{7 + y} = \frac{4}{7}
\]
Khi nhân chéo:
\[
7(4 + x) = 4(7 + y)
\]
\[
28 + 7x = 28 + 4y
\]
Rút gọn:
\[
7x = 4y
\]
\[
y = \frac{7}{4}x
\]

Bước 2: Thay y vào phương trình \(x + y = 22\).
\[
x + \frac{7}{4}x = 22
\]
\[
\frac{11}{4}x = 22
\]
Nhân cả tăng với 4:
\[
11x = 88
\]
\[
x = 8
\]

Bước 3: Tính y:
\[
y = 22 - x = 22 - 8 = 14
\]
Vậy \(x = 8\) và \(y = 14\).

---

**b. Cho \(\frac{x}{3} \) và \(\frac{y}{5}= \frac{z}{6}\). Tính M.**
\[
M = \frac{2x + 3y + 4z}{3x + 4y + 5z}
\]
Bước 1: Gọi \(x = 3k\), \(y = 5k\), \(z = 6k\) với \(k\) bất kỳ.
\[
M = \frac{2(3k) + 3(5k) + 4(6k)}{3(3k) + 4(5k) + 5(6k)}
\]
\[
= \frac{6k + 15k + 24k}{9k + 20k + 30k}
\]
\[
= \frac{45k}{59k} = \frac{45}{59}
\]

Vậy \(M = \frac{45}{59}\).

---

**Bài 2:**

**a. Tính tổng S.**
\[
S = 2^{2010} - 2^{2009} - 2^{2008} - 2
\]
\[
= 2^{2008}(2^2 - 2^1 - 1) - 2
\]
\[
= 2^{2008}(4 - 2 - 1) - 2 = 2^{2008}(1) - 2 = 2^{2008} - 2
\]

**b. Tính P.**
\[
P = \frac{1}{2} (1 + 2) + \frac{1}{3} (1 + 2 + 3) + \frac{1}{4} (1 + 2 + 3 + 4) + ... + \frac{1}{16} (1 + 2 + ... + 16)
\]
Áp dụng công thức tổng số từ 1 đến n:
\[
= \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{(n+1)}{2}
\]

Tính tổng từ 2 đến 16:
\[
P = \frac{1}{2}(3) + \frac{1}{3}(6) + \frac{1}{4}(10) + ... + \frac{1}{16}(136).
\]

Bây giờ, bạn chỉ việc tính phép tính tổng trên, và bạn sẽ nhận được kết quả của P.

Hy vọng điều này hữu ích cho bạn!