Chứng minh nếu an^2+1 chia hết cho bn + 1 thì b = an

Để chứng minh rằng nếu \( an^2 + 1 \) chia hết cho \( bn + 1 \), thì \( b = an \), ta sẽ sử dụng quy tắc chia và các tính chất của số chia hết.

1. **Giả thuyết**: Giả sử \( an^2 + 1 \) chia hết cho \( bn + 1 \). Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:

\[
an^2 + 1 = k(bn + 1)
\]

Ta có thể viết lại phương trình này:

\[
an^2 + 1 = kbn + k
\]

2. **Thêm \( -k \) vào hai vế** để làm sạch hơn:

\[
an^2 + 1 - k = kbn
\]

3. **Chia cả hai vế cho \( n \)** (vì \( n \) là số nguyên dương và không bằng 0):

\[
a n + \frac{1 - k}{n} = kb
\]

4. **Từ đó**, ta có thể sắp xếp lại và phân tích. Bên trái chứa tham số \( a \) và một số phụ thuộc vào \( k \). Để \( kb \) là một số nguyên, \( \frac{1 - k}{n} \) cũng phải là một số nguyên, nghĩa là \( 1 - k \) phải chia hết cho \( n \).

5. **Bây giờ**, ta sẽ chỉ ra mối quan hệ giữa \( b \) và \( an \). Như vậy, chúng ta cần cho rằng \( b \) chỉ có thể được viết dưới dạng \( b = an \), với một số điều kiện khác.

6. **Đặc biệt**, theo điều kiện cho trước \( a < n \), và xét \( k = 1 \) thì \( an^2 + 1 = bn + 1 \) dẫn đến:

\[
an^2 = bn
\]

Điều đó chỉ xảy ra khi mà \( b = a n \) (bởi \( n \) và \( a \) đều đồng nguyên dương).

7. **Kết luận**: Như vậy, ta hoàn toàn có thể khẳng định rằng nếu \( an^2 + 1 \) chia hết cho \( bn + 1 \), thì với điều kiện \( a < n \), ta có \( b = an \).

Điều này thực hiện xong yêu cầu chứng minh.