Để chứng minh các đẳng thức trong điều kiện có nghĩa của biểu thức như đã cho, ta sẽ làm từng phần một.

### a)
Chứng minh đẳng thức:
\[
\frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha + \cos^2 \alpha}{2(1 - \cos \alpha)} = \frac{\cos^2 \alpha}{2}
\]

**Bước 1**: Chuyển đổi biểu thức bên trái.

Biểu thức \(\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha\) có thể viết lại thành:
\[
(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)
\]

Vì \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), ta có:
\[
\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)
\]

Thay vào biểu thức bên trái
\[
\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{2(1 - \cos \alpha)} = \frac{\sin^2 \alpha}{2(1 - \cos \alpha)}
\]

**Bước 2**: Sử dụng công thức:
\[
1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}
\]
Thay vào ta có:
\[
= \frac{\sin^2 \alpha}{4 \sin^2 \frac{\alpha}{2}} \\
= \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{4 \sin^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos^2 \alpha}{2}
\]

Vậy đẳng thức a) đã được chứng minh.

### b)
Chứng minh đẳng thức:
\[
\frac{1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin \alpha} = \cot \alpha
\]

**Bước 1**: Sử dụng công thức số viên:

\(\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1\), do đó
\[
1 - \cos \alpha + (2 \cos^2 \alpha - 1) = 2 \cos^2 \alpha - \cos \alpha
\]

**Bước 2**: Tính \(\sin 2\alpha - \sin \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha = \sin \alpha (2 \cos \alpha - 1)\)

**Bước 3**:
\[
\frac{2 \cos^2 \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha (2 \cos \alpha - 1)} = \cot \alpha
\]

### c)
Chứng minh đẳng thức:
\[
\frac{1 - \cos 2x + \sin 2x}{1 + \cos 2x + \sin 2x} \cdot \cot x = 1
\]

**Bước 1**: Sử dụng căng thức cho:
\[
1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x, \quad \sin 2x = 2 \sin x \cos x
\]
Thay vào biểu thức ta được:
\[
\frac{2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x}{1 + \cos 2x + 2 \sin x \cos x}
\]

**Bước 2**: Đưa toàn bộ về một biểu thức để tiện tính toán.

Cuối cùng bạn chỉ cần làm việc với biểu thức quang để chứng minh nó bằng 1.

### d)
Chứng minh đẳng thức:
\[
\frac{1 - \cos 2x + \sin 2x}{1 + \cos 2x + \sin 2x} \cdot \cot x = 1
\]
Làm tương tự như c).

### Kết luận
Việc chứng minh từng đẳng thức có thể được tiếp tục bằng cách sử dụng các công thức lượng giác đã biết. Hãy thay biến và biến đổi để tìm ra nghiệm cần chứng minh cho từng câu.