Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng yêu cầu a) và b).

### a) Tính khoảng cách từ O đến dây AB.

Gọi \(d\) là khoảng cách từ tâm \(O\) đến đoạn thẳng \(AB\). Dùng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(OCD\) (với \(C\) là trung điểm của \(AB\) và \(D\) là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) xuống \(AB\)):

1. Đầu tiên, tính bán kính \(OA\):
\[
OA = OB = 5 \text{ cm}
\]

2. Tính \(AC\) (nửa đoạn dây \(AB\)):
\[
AC = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}
\]

3. Áp dụng định lý Pythagore:
\[
OD^2 + CD^2 = OA^2
\]
hay
\[
d^2 + 3^2 = 5^2
\]
\[
d^2 + 9 = 25
\]
\[
d^2 = 16 \implies d = 4 \text{ cm}
\]

### b) Tính \(\tan \alpha\) nếu góc ở tâm chắn cung \(AB\) bằng \(2\alpha\).

Góc ở tâm \(O\) tạo bởi đoạn thẳng \(AO\) và \(BO\) là \(2\alpha\). Từ tam giác vuông \(OAD\):
1. Tính \(\tan \alpha\):
\[
\tan \alpha = \frac{AC}{OD} = \frac{3}{4}
\]

Vậy kết quả là:
- a) Khoảng cách từ \(O\) đến dây \(AB\) là \(4 \text{ cm}\).
- b) \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\).