Để giải bài toán tìm điểm \( M(x, 0) \) trên trục Ox sao cho \( T = |MA| + |MB| \) nhỏ nhất, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Xác định tọa độ của các điểm A và B**:
- \( A(1, 2) \)
- \( B(-3, 4) \)

2. **Viết các biểu thức đoạn thẳng**:
- Đoạn thẳng \( MA \):
\[
MA = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 4}
\]
- Đoạn thẳng \( MB \):
\[
MB = \sqrt{(x + 3)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x + 3)^2 + 16}
\]

3. **Chuyên biệt hóa biểu thức T**:
\[
T = |MA| + |MB| = \sqrt{(x - 1)^2 + 4} + \sqrt{(x + 3)^2 + 16}
\]

4. **Tìm giá trị x để T nhỏ nhất**:
- Cách đơn giản nhất là sử dụng nguyên lý phản xạ: Phản xạ điểm B qua trục Ox thành \( B'(-3, -4) \).
- Tìm đoạn thẳng nối A và B', thì đoạn thẳng này sẽ cắt trục Ox tại điểm tối ưu.
- Tính độ dốc đường thẳng \( AB' \):

\[
\text{Độ dốc} = \frac{-4 - 2}{-3 - 1} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}
\]

- Viết phương trình đường thẳng:

\[
y - 2 = \frac{3}{2}(x - 1) \implies y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} + 2 = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}
\]

- Để tìm điểm M, đặt \( y = 0 \):

\[
0 = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} \implies \frac{3}{2}x = -\frac{1}{2} \implies x = -\frac{1}{3}
\]

5. **Kết luận**:
Điểm \( M \) trên trục Ox thỏa mãn điều kiện tối ưu là \( M\left(-\frac{1}{3}, 0\right) \). Tại điểm này, \( T = |MA| + |MB| \) đạt giá trị nhỏ nhất.