Để giải bài toán, chúng ta sẽ lần lượt xử lý từng phần:

### a. Tính \(ad\)

Do \(cd\) là phân giác của tam giác \(abc\), chúng ta có quy tắc phân giác trong tam giác:

\[
\frac{ab}{ac} = \frac{bd}{dc}
\]

Gọi \(ad = x\) và do \(bd = 4 \text{ cm}\), ta có \(ab = ad + bd = x + 4\).

Do \(ac = 6 \text{ m} = 600 \text{ cm}\), \(bc = 5 \text{ cm}\) và \(dc = ac - ac\):

\[
\frac{x + 4}{600} = \frac{4}{dc}
\]

Tính \(dc\):

\[
dc = ac - (ad + bd) = 600 - (x + 4)
\]

Thay vào phương trình:

\[
\frac{x + 4}{600} = \frac{4}{600 - (x + 4)}
\]

Giải phương trình này để tìm giá trị của \(x\):

\[
(x + 4)(600 - (x + 4)) = 2400
\]
\[
(x + 4)(596 - x) = 2400
\]
\[
596x - x^2 + 2384 - 4x = 2400
\]
\[
- x^2 + 592x - 16 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
x^2 - 592x + 16 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{592 \pm \sqrt{592^2 - 4 \times 1 \times 16}}{2 \times 1}
\]

Tính giá trị:

\[
\sqrt{592^2 - 64} = \sqrt{350464 - 64} = \sqrt{350400} = 592
\]

Do đó các nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{592 + 592}{2} = 592 \text{ cm }
\]
\[
x = \frac{592 - 592}{2} = 0 \text{ cm}
\]

Vì \(x\) không thể bằng \(0\), nên \(ad = 592\) là nghiệm hợp lý.

### b. Chứng minh \(h\) là trung điểm của \(de\).

Vì \(c\) là trung điểm của \(bi\), và \(h\) là hình chiếu của \(b\) trên đường thẳng \(ac\), ta có thể chứng minh rằng \(h\) là trung điểm của \(de\) bằng cách chứng minh rằng \(dh = he\).

Từ đó, liên kết rõ hơn các tỷ lệ đoạn thẳng trong tam giác để xác nhận \(h\) là trung điểm.

### c. Chứng minh \(\frac{ae}{ei} = \frac{ac}{ci}\)

Sử dụng các quy tắc và định lý trong hình học liên quan đến tỉ lệ đoạn thẳng, có thể áp dụng định lý phân giác:

\[
\frac{ae}{ei} = \frac{ac}{ci}
\]

Bằng cách sử dụng tính chất của phân giác và tam giác, bạn có thể chứng minh rằng tỉ lệ giữ nguyên.

---

Nếu bạn cần thêm chi tiết cho các bước cụ thể hoặc có vấn đề trong phần nào, hãy cung cấp thêm các thông tin cần thiết.