Để chứng minh các điều cần thiết trong bài toán này, ta sẽ làm theo từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng:

1. **Xét tam giác vuông ABC**: Với \( \angle A = 90^\circ \), ta có \( AH \) là đường cao hạ từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).
2. **Xét đường tròn (A; AH)**: Đường tròn này có tâm tại \( A \) và bán kính bằng độ dài của đường cao \( AH \).
3. **Kẻ tiếp tuyến BD và CE**: Ta biết rằng, với mỗi điểm tiếp xúc của tiếp tuyến với đường tròn, đoạn thẳng từ điểm đó đến tâm đường tròn vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc.
4. **Ghi chú về tiếp điểm D và E**: Ta có điểm \( D \) trên đường thẳng \( AC \) và điểm \( E \) trên đường thẳng \( AB \).
5. **Chứng minh thẳng hàng**: Do \( \angle A = 90^\circ \), ta thấy rằng ba điểm D, A, E nằm trong cùng một mặt phẳng và tạo thành một đường thẳng. Từ tính chất của tiếp tuyến và góc vuông, \( AD \perp BD \) và \( AE \perp CE \), suy ra rằng D, A, E là thẳng hàng.

### b) Chứng minh DE tiếp xúc với đường tròn (đường kính BC):

1. **Xét các tiếp tuyến**: Theo định lý về tiếp tuyến, tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn đến đường tròn là vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.
2. **Tính chất của tam giác**: Cạnh BC là cạnh huyền của tam giác vuông ABC và \( D, E \) là các điểm nằm trên các cạnh \( AC, AB \) tương ứng.
3. **Chứng minh tiếp xúc**: Để chứng minh rằng DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC, ta cần chỉ ra rằng gia đoạn DE vuông góc với bán kính từ tâm đường tròn đến điểm tiếp xúc. Nếu chúng ta kẻ đường tròn đường kính BC, ta có một điểm thuộc đường tròn là một điểm mà đoạn thẳng DE cắt.
4. **Suy ra**: Dựa vào điều kiện cạnh huyền và tính chất của tiếp tuyến, ta có thể kết luận rằng DE sẽ vuông góc với bán kính từ đường tròn đến điểm tiếp xúc.

Từ những lý luận trên, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.