Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất cơ bản của phân thức, tức là nếu hai phân thức bằng nhau, thì tích chéo của chúng cũng bằng nhau (điều này chỉ đúng khi mẫu số khác 0).

Đầu tiên, chúng ta có phân thức phía bên trái:

\[
\frac{x^2 + 8}{2x - 1}
\]

Và phân thức phía bên phải:

\[
\frac{3x^3 + 24x}{M}
\]

Theo tính chất cơ bản của phân thức, ta có:

\[
(x^2 + 8) \cdot M = (3x^3 + 24x) \cdot (2x - 1)
\]

Bây giờ, ta sẽ tìm M bằng cách thực hiện phép nhân bên phải. Ta có:

\[
(3x^3 + 24x)(2x - 1) = 3x^3 \cdot 2x - 3x^3 \cdot 1 + 24x \cdot 2x - 24x \cdot 1
\]

Tính toán từng phần:

1. \(3x^3 \cdot 2x = 6x^4\)
2. \(-3x^3 \cdot 1 = -3x^3\)
3. \(24x \cdot 2x = 48x^2\)
4. \(-24x \cdot 1 = -24x\)

Ghép lại, ta có:

\[
6x^4 - 3x^3 + 48x^2 - 24x
\]

Do đó, ta có phương trình:

\[
(x^2 + 8) \cdot M = 6x^4 - 3x^3 + 48x^2 - 24x
\]

Để tìm M, ta sẽ chia cả hai vế cho \(x^2 + 8\):

\[
M = \frac{6x^4 - 3x^3 + 48x^2 - 24x}{x^2 + 8}
\]

Tuy nhiên, để thực hiện phép chia này, ta có thể cần rút gọn hoặc thực hiện phép chia đa thức. Chia \(6x^4 - 3x^3 + 48x^2 - 24x\) cho \(x^2 + 8\) sẽ cho chúng ta giá trị của M.

Chia từng bước:

1. Bước đầu tiên: \(6x^4\) chia cho \(x^2\) được \(6x^2\). Nhân \(6x^2\) với \(x^2 + 8\) được \(6x^4 + 48x^2\). Trừ đi cho phần đầu.

\[
(6x^4 - 3x^3 + 48x^2 - 24x) - (6x^4 + 48x^2) = -3x^3 - 24x^2 - 24x
\]

2. Bước tiếp theo: \(-3x^3\) chia cho \(x^2\) được \(-3x\). Nhân \(-3x\) với \(x^2 + 8\) được \(-3x^3 - 24x\). Trừ đi cho phần đầu.

\[
(-3x^3 - 24x^2 - 24x) - (-3x^3 - 24x) = -24x^2
\]

3. Bước cuối cùng: \(-24x^2\) chia cho \(x^2\) được \(-24\). Nhân \(-24\) với \(x^2 + 8\) được \(-24x^2 - 192\). Trừ đi cho phần đầu.

\[
(-24x^2) - (-24x^2 - 192) = 192
\]

Vậy kết quả của phép chia là:

\[
M = 6x^2 - 3x - 24 + \frac{192}{x^2 + 8}
\]

Chú ý rằng M này là đa thức cộng với phân thức.

Vì vậy, M sẽ phụ thuộc vào giá trị của x. Cần làm rõ thêm liệu có yêu cầu gì khác về M hay không.