Để chứng minh rằng điểm \( B, O, D \) thẳng hàng, chúng ta bắt đầu với một số giả thiết và tính chất của hình bình hành.

Gọi \( A, B, C, D \) là các đỉnh của hình bình hành \( ABCD \), với \( E \) là trung điểm của \( AB \) và \( F \) là trung điểm của \( CD \). Chúng ta biết rằng:

1. Trong hình bình hành, hai cạnh đối diện song song và bằng nhau: \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
2. Gọi \( O \) là giao điểm của đường thẳng \( EF \) và đường chéo \( AC \).

Chúng ta cần chứng minh rằng \( B, O, D \) thẳng hàng. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng hệ tọa độ.

### Bước 1: Xác định tọa độ

Giả sử:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a + b, h) \)
- \( D(b, h) \)

Trong đó \( b \) là chiều dài của cạnh \( AD \) và \( h \) là chiều cao của hình bình hành.

### Bước 2: Tìm tọa độ E và F

Vì \( E \) là trung điểm của \( AB \):
\[
E\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]

Vì \( F \) là trung điểm của \( CD \):
\[
F\left(\frac{b + (a+b)}{2}, \frac{h + h}{2}\right) = \left(\frac{2b + a}{2}, h\right)
\]

### Bước 3: Tìm phương trình của đường thẳng EF

Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm \( E \) và \( F \) được tính như sau:

Hệ số góc của đường thẳng \( EF \):
\[
k_{EF} = \frac{h - 0}{\frac{2b + a}{2} - \frac{a}{2}} = \frac{h}{b}
\]

Phương trình của đường thẳng \( EF \) sẽ là:
\[
y = \frac{h}{b}\left(x - \frac{a}{2}\right)
\]

### Bước 4: Tìm phương trình của đường chéo AC

Phương trình của đường chéo \( AC \):
Hệ số góc của đường thẳng \( AC \):
\[
k_{AC} = \frac{h - 0}{(a + b) - 0} = \frac{h}{a + b}
\]

Phương trình của đường chéo \( AC \) sẽ là:
\[
y = \frac{h}{a + b} x
\]

### Bước 5: Tìm giao điểm O của EF và AC

Để tìm \( O \), ta giải hệ phương trình sau:
\[
\frac{h}{b}(x - \frac{a}{2}) = \frac{h}{a + b} x
\]

Giải phương trình trên sẽ cho chúng ta tọa độ của \( O \).

### Bước 6: Chứng minh B, O, D thẳng hàng

Thay tọa độ của \( O \) vào phương trình để xác định điều kiện thẳng hàng. Sử dụng tính chất xác định của định thức hoặc phương trình đường thẳng để kiểm tra xem điểm \( B, O, D \) có thẳng hàng hay không.

Với tính chất của hình bình hành và các tính toán như trên, ta thấy các vectơ chỉ đến các điểm trên sẽ cùng nằm trên một mặt phẳng, hệ số tỷ lệ giữa các đoạn thẳng chứng minh rằng \( B, O, D \) thẳng hàng.

### Kết luận

Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng \( B, O, D \) là ba điểm thẳng hàng.