Để chứng minh rằng \((7a - 3b + 2c)(7a - 3b - 2c) = (3a - 7b)^2\) với điều kiện \(10a^2 = 10b^2 + c^2\), ta sẽ áp dụng hằng đẳng thức và biến đổi các biểu thức.

Trước tiên, chúng ta nhận thấy rằng biểu thức bên trái có dạng của hằng đẳng thức \( (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \). Ở đây, chúng ta đặt:

\[
x = 7a - 3b \quad và \quad y = 2c
\]

Áp dụng hằng đẳng thức trên, ta có:

\[
(7a - 3b + 2c)(7a - 3b - 2c) = (7a - 3b)^2 - (2c)^2
\]

Tiếp theo, ta tính từng phần:

1. Tính \( (7a - 3b)^2 \):

\[
(7a - 3b)^2 = 49a^2 - 42ab + 9b^2
\]

2. Tính \( (2c)^2 \):

\[
(2c)^2 = 4c^2
\]

Vậy biểu thức trở thành:

\[
(7a - 3b + 2c)(7a - 3b - 2c) = 49a^2 - 42ab + 9b^2 - 4c^2
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế \(c^2\) từ phương trình \(10a^2 = 10b^2 + c^2\):

\[
c^2 = 10a^2 - 10b^2
\]

Thay vào biểu thức:

\[
= 49a^2 - 42ab + 9b^2 - 4(10a^2 - 10b^2)
\]

\[
= 49a^2 - 42ab + 9b^2 - 40a^2 + 40b^2
\]

\[
= (49a^2 - 40a^2) + (-42ab) + (9b^2 + 40b^2)
\]

\[
= 9a^2 - 42ab + 49b^2
\]

Nhận thấy rằng:

\[
(3a - 7b)^2 = (3a)^2 - 2(3a)(7b) + (7b)^2 = 9a^2 - 42ab + 49b^2
\]

Do đó, ta kết luận rằng:

\[
(7a - 3b + 2c)(7a - 3b - 2c) = (3a - 7b)^2
\]

Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh:

\[
(7a - 3b + 2c)(7a - 3b - 2c) = (3a - 7b)^2
\]