Để chứng minh rằng tứ giác EFIK là hìnhthang, ta thực hiện các bước sau:

### a. Chứng minh tứ giác EFIK là hình thang

1. **Định nghĩa**: Hình thang là tứ giác có ít nhất một cặp cạnh đối song song.

2. **Xét các cạnh**:
- Vì EH là đường cao từ E xuống cạnh DF, nên DH vuông góc với EF.
- Từ điểm I, chúng ta vẽ đường thẳng vuông góc với DH. Do đó, KI cũng vuông góc với DH.

3. **Kết luận**:
- Như vậy, I là hình chiếu của E trên DF, đồng thời I là điểm cắt của các đường thẳng, do đó EF // IK.
- Vậy EFIK là tứ giác có một cặp cạnh đối song song, nên EFIK là hình thang.

### b. Chứng minh EK = KI

1. **Căn cứ vào định nghĩa phân giác**: EI là phân giác của góc E; theo định nghĩa, trong tam giác EDI có EI = EK (do I là điểm trên phân giác và tạo ra hai tam giác đồng dạng).

2. **Kết luận**:
- Do đó, EK = KI.

### c. Chứng minh tứ giác EKIQ là hình thang cân

1. **Lập luận**:
- Theo giả thiết, ta chọn điểm Q trên cạnh EF sao cho \( \overline{EK} = \overline{IQ} \).
- Khi đó, \( \overline{EK} \) song song với \( \overline{IQ} \) và \( \overline{EK} = \overline{IQ} \) cho thấy tứ giác EKIQ cũng là hình thang.

2. **Kết luận**:
- Do đó, tứ giác EKIQ là hình thang cân.

### Tổng kết
- Tứ giác EFIK là hình thang, EK = KI, và tứ giác EKIQ là hình thang cân như đã chứng minh.